|
1
Записано выражение для скорости элемента пружины: $$v_\text{пр}=\cfrac{vx'}{L_1} $$ |
0.10 |
|
|
2
Записано выражение для кинетической энергии элемента длиной $dx'$: $$dE_k=\cfrac{\mu v^2x'^2dx'}{2L_1} $$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$E_k=\cfrac{\mu L_1v^2}{6} $$ |
0.10 |
|
|
1
Выражение для потенциальной энергии пружины: $$W_p=\cfrac{kx^2}{2} $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$T=2\pi\sqrt{\cfrac{L_1(M+\mu L_1/3)}{kL}} $$ |
0.10 |
|
| 1 Предложена линеаризация $T^2(M)$. | 0.03 |
|
|
2
Записано выражение для углового коэффициента $a$: $$a=\cfrac{4\pi^2}{k_1} $$ |
0.05 |
|
|
3
Записано выражение для свободного члена $b$: $$b=\cfrac{4\pi^2m_1}{3k_1} $$ |
0.05 |
|
| 4 Пересчёт $T^2$ с округлением до нужного знака. | 7 × 0.02 |
|
| 5 Пересчёт $T^2$ с неправильным округлением. | 7 × 0.01 |
|
|
6
Рассчитаны погрешности $\Delta{T^2}$ с округлением до нужного знака. |
7 × 0.02 |
|
| 7 Рассчитаны погрешности $\Delta{T^2}$ с неправильным округлением. | 7 × 0.01 |
|
| 8 Точки нанесены на график | 7 × 0.02 |
|
|
9
Получено значение $k_1$, попадающее в диапазон: $$k_1\in[19.7{;}20.1]~\text{Н}/\text{м} $$ |
0.10 |
|
|
10
Получено значение $m_1$, попадающее в диапазон: $$m_1\in[50{;}110]~\text{г} $$ |
0.15 |
|
|
11
Получено значение $m_1$, попадающее в диапазон: $$m_1\in[30{;}130]~\text{г} $$ |
0.10 |
|
|
12
Получено значение $\Delta{k_1}$, попадающее в диапазон: $$\Delta{k_1}\in[0.2{;}0.8]~\text{Н}/\text{м} $$ |
0.10 |
|
|
13
Получено значение $\Delta{m_1}$, попадающее в диапазон: $$\Delta{m_1}\in[30{;}90]~\text{г} $$ |
0.10 |
|
|
1
Получено выражение для силы упругости в пружине: $$F_\text{упр}=kL\cfrac{\partial u}{\partial x'} $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено волновое уравнение для пружины: $$\mu\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=kL\cfrac{\partial^2u}{\partial x'^2} $$ |
0.10 |
|
|
3
Получен ответ для скорости волн $c$ в пружине: $$c=\sqrt{\cfrac{kL}{\mu}} $$ |
0.10 |
|
|
1
Записано граничное условие: $$u(0{,}t)=0 $$ |
0.10 |
|
|
2
Получено выражение для $u_\text{пад}(0{,}t)$: $$u_\text{пад}(0{,}t)=-A\cos\omega_0t $$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для $u_\text{пад}(x'{,}t)$: $$u_\text{пад}(x'{,}t)=-A\cos(\omega_0t+k_0x') $$ |
0.10 |
|
|
4
Получен ответ: $$u(x'{,}t)=2A\sin k_0x'\sin\omega_0t $$ Примечание: при ошибке в начальной фазе дальнейшее решение оценивается в полный балл. |
0.10 |
|
|
1
Уравнение движения груза сведено к следующей форме: $$M\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=-kL\cfrac{\partial u}{\partial x'} $$ |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для $\partial^2 u(L_2{,}t)/\partial t^2$: $$\cfrac{\partial^2u(L_2{,}t)}{\partial t^2}=-2\omega^2_0A\sin k_0x'\sin\omega_0t $$ |
0.10 |
|
|
3
Получено выражение для $\partial u(L_2{,}t)/\partial x'$: $$\cfrac{\partial u(L_2{,}t)}{\partial x'}=2k_0A\cos k_0x'\sin\omega_0t $$ |
0.10 |
|
| 4 Учтено соотношение $\omega_0=k_0c$. | 0.10 |
|
|
5
Получен ответ: $$f(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\cot\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}} $$ |
0.30 |
|
| 1 Идея разложения функций $\sin x$ и $\cos x$ по отдельности | 0.20 |
|
|
2
Получено разложение функции $\cot x$: $$\cot x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3}-\cfrac{x^3}{45} $$ |
3 × 0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$f_1(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}} $$ |
0.10 |
|
|
4
Получен ответ: $$f_2(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\left(\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}-\cfrac{\omega_0}{3}\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}\right) $$ |
0.10 |
|
|
5
Получен ответ: $$f_3(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\left(\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}-\cfrac{\omega_0}{3}\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}-\cfrac{1}{45}\left(\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}\right)^3\right) $$ |
0.10 |
|
|
1
Получен ответ: $$\omega_{01}=\sqrt{\cfrac{kL}{ML_2}} $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$\omega_{02}=\sqrt{\cfrac{kL}{L_2(M+\mu L_2/3)}} $$ |
0.20 |
|
|
3
Получен ответ: $$\omega_{03}=\sqrt{-\cfrac{45MkL}{2\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)+\sqrt{\left(\cfrac{45MkL}{2\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)\right)^2+\cfrac{45k^2L^2}{\mu^2L^4_2}}} $$ |
0.30 |
|
|
1
Для произвольной переменной $z$ записано: $$\cfrac{\partial u}{\partial z}=\cfrac{du}{d(x'-ct)}\cfrac{\partial(x'-ct)}{\partial z} $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ (оценивается только ответ с правильным знаком): $$\cfrac{\partial u}{\partial x'}=-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u}{\partial t} $$ |
0.10 |
|
|
1
M1
Записан второй закон Ньютона для бруска: $$M\cfrac{\partial^2u(0{,}t)}{\partial t^2}=kL\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial x'} $$ |
0.20 |
|
|
2
M1
Получено выражение: $$M\cfrac{\partial^2u(0{,}t)}{\partial t^2}=-\cfrac{kL}{c}\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial t} $$ |
0.30 |
|
|
3
M1
Записано выражение для скорости бруска $v$: $$v=\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial t} $$ |
0.30 |
|
|
4
M2
Указано, что за время $dt$ в движение вовлекается масса $dm$ пружины, равная: $$dm=\mu cdt $$ |
0.10 |
|
| 5 M2 Указано, что распределение импульса в пружине за время $dt$ как единое целое смещается на величину $cdt$. | 0.50 |
|
|
6
M2
Найдено изменение импульса пружины за время $dt$: $$dp_\text{пр}=vdm $$ |
0.20 |
|
|
7
Получено уравнение движения бруска: $$M\dot{v}=-\mu cv $$ |
0.30 |
|
|
8
Получен ответ: $$p(x)=Mv_0-x\sqrt{\mu kL} $$ |
0.40 |
|
|
1
Получен ответ: $$v(t)=v_0e^{-t\sqrt{\mu kL/M^2}} $$ |
0.20 |
|
|
1
Получено выражение для скорости элемента пружины: $$v_\text{пр}(x'{,}t)=v(t-x'/c) $$ |
0.20 |
|
|
2
Подставлено выражение для $v(t)$ и получена зависимость $v_\text{пр}(x')$: $$v_\text{пр}(x')= \begin{cases} v_0e^{(x'\sqrt{\mu/kL}-t)\sqrt{\mu kL/M^2}}\quad\text{при}\quad x'\leq t\sqrt{\cfrac{\mu}{kL}}\\ 0\quad\text{при}\quad x'{>} t\sqrt{\cfrac{\mu}{kL}} \end{cases} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
3
Каждое из перечисленных ниже действий оценивается в $0{.}05$ балла:
|
4 × 0.05 |
|
| 1 В работе описан метод, позволяющий воспользоваться результатом пункта $\mathrm{C3}$ | 0.20 |
|
|
2
Получен ответ: $$v_1(t)=v_0e^{-t\sqrt{\mu kL/M^2}} $$ |
0.10 |
|
|
1
Записано выражение: $$V=\cfrac{\partial u(L_0{,}t)}{\partial t} $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ: $$v_2(t)=V(t)-v_1(t) $$ |
0.10 |
|
|
1
M1
Записано уравнение движения груза: $$ma_x=kL\cfrac{\partial u}{\partial x'}$$ |
0.20 |
|
|
2
M1
Получены выражения для $\partial u_1(x'{,}t)/\partial x'$ и $\partial u_1(x'{,}t)/\partial x'$ (по $0{.}1$ балла за каждое): $$\cfrac{\partial u_1}{\partial x'}=-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u_1}{\partial t}\qquad \cfrac{\partial u_2}{\partial x'}=\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u_2}{\partial t} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
3
M1
Получено уравнение движения в следующей форме: $$ma_x=-\cfrac{kL}{c}\left(\cfrac{\partial u_2}{\partial t}-\cfrac{\partial u_1}{\partial t}\right) $$ |
0.20 |
|
|
4
M2
Найден импульс $dp_1$, передаваемый бруску падающей волной за время $dt$: $$dp_1=\mu cdt\cdot v_1(t) $$ |
0.20 |
|
|
5
M2
Найден модуль импульса $|dp_1|$, полученный бруском от отражённой волны за время $dt$, найден с неверным знаком: $$|dp_2|=\mu cdt|v_1(t)-V(t)| $$ |
0.30 |
|
|
6
M2
Найден импульс $dp_1$, полученный бруском от отражённой волны за время $dt$: $$dp_2=\mu cdt(v_1(t)-V(t)) $$ |
0.10 |
|
|
7
Получен ответ: $$a(t)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{m^2}}(2v_1(t)-V(t)) $$ Примечание: при ошибке в коэффициентах перед $v_1$ и $V$ решение пункта $\mathrm{D4}$ (кроме конечного ответа) оценивается в соответствии с полученными коэффициентами. Остальные места, в которых ошибка в данном пункте не влияют на оценку, указаны отдельно. |
0.20 |
|
|
1
Получено дифференциальное уравнение движения бруска, выраженное через время $t$, скорость $V$ и её производную $\dot{V}$, а также постоянные величины: $$\cfrac{mc}{kL}\dot{V}+V=2v_1(t)=2v_0e^{-kLt/Mc} $$ |
0.20 |
|
|
2
Решение для скорости бруска ищется в виде решения однородного и частного решения неоднородного уравнения: $$V(t)=V_\text{одн}(t)+V_\text{частн}(t) $$ |
0.20 |
|
|
3
Записано решение однородного уравнения: $$V_\text{одн}(t)=Ae^{-kLt/mc} $$ |
0.20 |
|
|
4
Предложен вид решения неоднородного уравнения (возможно, содержащий константу): $$V_\text{частн}(t)=Be^{-kLt/Mc} $$ |
0.30 |
|
|
5
Определён параметр $B$: $$B=\cfrac{2v_0}{1-m/M} $$ |
0.30 |
|
|
6
Определён параметр $A$: $$A=-\cfrac{2v_0}{1-m/M} $$ |
0.10 |
|
|
7
Получен ответ: $$V(t)=\cfrac{2v_0}{1-m/M}\left(e^{-kLt/Mc}-e^{-kLt/mc}\right) $$ |
0.20 |
|
|
1
Записано условие отрыва бруска от пружины (с точностью до ошибки в пункте $\mathrm{D3}$): $$V(t)=2v_1(t) $$ |
0.10 |
|
| 2 Предыдущее утверждение обосновано. | 0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$\tau=\sqrt{\cfrac{M^2}{\mu kL}}\cdot\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1} $$ |
0.20 |
|
|
1
Записано условие, при котором отражённая волна не достигает бруска массой $M$: $$L_0\geq c\tau $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ в общем виде: $$m_{min}=M\cdot\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1} $$ |
0.10 |
|
|
3
Правильный предельный переход: $$m_{min}(m\to{M})=M $$ |
0.10 |
|
|
1
Определена величина $-kL\tau/Mc$: $$-\cfrac{kL\tau}{Mc}=-\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1} $$ |
0.10 |
|
|
2
Получен ответ в общем виде: $$V_\infty=\cfrac{2v_0}{(M/m)^{1/(M/m-1)}} $$ |
0.10 |
|
|
3
Правильно определён предел $(1+x)^{1/x}$: $$\lim_{x\to{0}}(1+x)^{1/x}=e $$ |
0.10 |
|
|
4
Получен ответ для предельного перехода: $$V_\infty(m\to{M})=\cfrac{2v_0}{e} $$ |
0.10 |
|
|
1
Для зависимости от координаты $x'$ скорости пружины, вызванной падающей волной, получено: $$v_\text{пр1}(x')=\cfrac{v_0e^{\mu x'/M}}{e^2} $$ |
0.10 |
|
|
2
Определена зависимость $V(t)$ для предельного перехода: $$V(t)=2v_0e^{-kLt/Mc}\cfrac{kLt}{Mc} $$ |
0.20 |
|
|
3
Для зависимости от координаты $x'$ скорости пружины, вызванной падающей волной, получено: $$v_\text{пр2}(x')=v_0e^{-\mu x'/M}\left(\cfrac{2\mu x'}{M}-1\right) $$ |
0.20 |
|
|
4
Определена зависимость $v_\text{пр}(x')$: $$v_\text{пр}(x')=\cfrac{v_0e^{\mu x'/M}}{e^2}+v_0e^{-\mu x'/M}\left(\cfrac{2\mu x'}{M}-1\right) $$ |
0.10 |
|
|
5
Каждое из перечисленных ниже действий оценивается в $0{.}1$ балла:
|
5 × 0.10 |
|