Pho.rs: Нелинейное трио

1.1 ^0.30 Запишите полную систему уравнений, определяющих токи во всех ветвях цепи, изображенных на схеме вертикально. В систему уравнений должно войти напряжение $U$ на параллельных ветвях цепи, а также ЭДС $\mathcal{E}$ источника напряжения, сопротивление $R$ резистора и коэффициент $\alpha$.

1 Корректная система уравнений

0.30

1.2 ^1.20 Найдите показания амперметра в цепи с точностью не хуже $10\%$. Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало. Ответ выразите в Амперах, укажите доверительный интервал для полученного результата.

1 $I_A=(0.267\pm0.005)~А$	1.20
2 $I_A=(0.27\pm0.02)~А$	0.90
3 $I_A=(0.25\pm0.05)~А$	0.30
4	0.00

2.1 ^0.60 Выразите $t_{0}$ через емкость $C$ конденсатора, его начальный заряд $q_{0}$ и характеристику $\alpha$ нелинейного резистора.

1 $t_0=2\sqrt{\alpha Cq_0}$

0.60

2.2 ^0.30 При разряде конденсатора только через эти соединительные провода при нормальной температуре заряд конденсатора убывает в $e$ раз за время $\tau=1~мс$ ($e$ – основание натурального логарифма). Как связано время $\tau$ с сопротивлением $r$ проводов? Выведите и запишите формулу.

1 $\tau=rC$

0.30

2.3 ^0.90 За какое время $t$ ток в цепи конденсатора уменьшится от начального значения $I_{0}$ до некоторого значения $I$, если разрядка идет через нелинейный резистор и при нормальной температуре? Ответ приведите в виде формулы, в которую должны войти величины $r$, $C$, $\alpha$, $I$ и $I_{0}$.

1 $t=rC\ln(I_0/I)+2\alpha C(I_0-I)$

0.90

2.4 ^1.20 Найдите время $t_{1}$, за которое заряд конденсатора уменьшится в $n = 10 000$ раз при разряде через провода и «нелинейный резистор» при нормальной температуре. Получите аналитический ответ, выразив $t_{1}$ через $t_{0}$, $\tau$ и $n$, а также дайте численный ответ с точностью не хуже $10\%$ (в миллисекундах).

1 $t=\tau\ln\frac{\sqrt{1+t_0^2/\tau^2}-1}{\sqrt{1+t_0^2/n\tau^2}-1}$	0.60
2 $t\in[25,26]~мс$	0.60
3 $t\in[24,28]~мс$	0.30
4	0.00

3.1 ^1.20 Пусть в некий момент времени до окончания первого полупериода колебаний заряд на конденсаторе уменьшился от начального значения $q_{0}$ до некоторого значения $q$. Какой будет сила тока в контуре к этому моменту времени? Ответ дайте в виде формулы, выразив его через $\alpha$, $L$, $C$, $q$ и $q_{0}$. Полезно иметь в виду, что в механике, когда нужно решать сложное нелинейное уравнение движения, пробуют привести его к виду, выражающему закон изменения энергии – часто это сильно упрощает решение.

1 $I(q)=\sqrt{\frac1{\alpha C}\left\{\frac L{2\alpha}+q-\left(\frac L{2\alpha}+q_0\right)\exp\left(\frac{2\alpha}L(q-q_0)\right)\right\}}$

1.20

3.2 ^1.20 Определите, какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе до того момента, когда заряд конденсатора впервые стал равным нулю. Ответ дайте в процентах с точностью не хуже $10\%$ от результата.

1 $Q_1/E_0\in[9.5\%,10.5\%]$	1.20
2 $Q_1/E_0\in[9\%,11\%]$	0.60
3	0.00

3.3 ^0.90 Какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе к тому моменту, когда сила тока впервые после начала колебаний стала равна нулю? Ответ дайте в процентах.

1 $Q'_1/E_0=19\%$

0.90

3.4 ^1.20 Какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе к тому моменту, когда заряд конденсатора во второй раз стал равным нулю? Ответ дайте в процентах с точностью не хуже $10\%$ от результата.

1 $Q_2/E_0\in[26\%,27.5\%]$	1.20
2 $Q_2/E_0\in[25\%,29\%]$	0.60
3	0.00

Нелинейное трио

Разбалловка