Это значение равно $r_{\max }=\frac{C_{V}\left(T_{H}-T_{C}\right)}{2 C_{V}\left(T_{H}-T_{C}\right)+2 A_{H}}$. Модуль работы в изотермическом процессе равен площади под диаграммой процесса в координатах давление-объем (или ищется как $|A|=\int_{V_{\min }}^{V_{\max }} p(V) d V$). Поскольку, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, для постоянного количества идеального газа $v$ уравнение процесса $p(V)=\frac{v R T}{V}$, то даже без вычисления интеграла ясно, что $\frac{\left|A_{H}\right|}{\left|A_{C}\right|}=\frac{T_{H}}{T_{C}}$. Для двигателя без регенерации работа газа за один цикл равна $A=\left|A_{H}\right|-\left|A_{C}\right|=\delta \cdot A_{H}$. Значит: $\eta_{0}=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\delta \cdot A_{H}}{C_{V}\left(T_{H}-T_{C}\right)+A_{H}}$. Из этого соотношения выражаем: $C_{V}\left(T_{H}-T_{C}\right)=\frac{\delta-\eta_{0}}{\eta_{0}} A_{H}$. Таким образом, максимальная величина коэффициента регенерации в предложенной схеме

Можно обратить внимание на то, что задача корректна только при условии $\eta_{0}<\delta$, что естественно – как нетрудно заметить, $\delta$ равно КПД цикла Карно с такими температурами нагревателя и холодильника.

При использовании регенерации работа в цикле остается такой же, а теплота, получаемая за цикл от нагревателя, уменьшается на $Q_{R}=r \cdot Q_{+}$. Следовательно, КПД двигателя с регенератором $\eta=\frac{A}{Q_{+}-Q_{R}}=\frac{\eta_{0}}{1-r}$, и при максимальном коэффициенте регенерации
$\eta_{\max }=\frac{2 \delta \eta_{0}}{\delta+\eta_{0}}=0.24$. C учетом механических потерь КПД двигателя

Количество теплоты, получаемое веществом при изобарном нагревании от температуры $T_{1}$ до $T_{2}$, можно вычислить через теплоемкость: $Q_{p}=\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{p}(T) d T=\frac{\beta(p)}{2}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right)$. Согласно условию, вещество при этом совершает работу, связанную с изменением объема: $A_{p}=-\frac{\beta(p)}{4}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right)=p\left(V_{2}-V_{1}\right)$. Так как $p=\mathrm{const}$, то изменение объема в изобарном процессе пропорционально изменению квадрата абсолютной температуры. С учетом условия $\left.V\right|_{T \rightarrow 0} \rightarrow 0$ находим уравнение изобары для этого вещества в координатах температура-объем:

Из результата п. 2.1. следует, что давление неизвестного вещества является функцией переменной $x \equiv \frac{T^{2}}{V}$, то есть термическое уравнение состояния должно записываться в виде $p=f\left(\frac{T^{2}}{V}\right)$. Кроме того, изменение внутренней энергии в этом процессе $U\left(V_{2}, T_{2}\right)-U\left(V_{1}, T_{1}\right)=Q_{p}-A_{p}=\frac{3 \beta(p)}{4}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right)$. Используя условие $\left.U\right|_{T \rightarrow 0} \rightarrow 0$, находим, что $U(V, T)=\frac{3 \tilde{\beta}\left(T^{2} / V\right)}{4} T^{2}$ (здесь введено обозначение $\tilde{\beta}(x) \equiv \beta(f(x))$ ). С другой стороны, количество теплоты, получаемое в изохорном процессе (работа не совершается) равно изменению внутренней энергии: $U\left(V, T_{2}\right)-U\left(V, T_{1}\right)=Q_{V}=\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}(T) d T=\frac{\gamma(V)}{4}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)$. С учетом того, что и здесь $\left.U\right|_{T \rightarrow 0} \rightarrow 0$, приходим к выводу, что калорическое уравнение состояния имеет вид $U(V, T)=\frac{\gamma(V)}{4} T^{4}$. Сопоставим два полученных выражения: поскольку $\frac{3 \tilde{\beta}\left(T^{2} / V\right)}{4} T^{2} \equiv \frac{\gamma(V)}{4} T^{4} \Rightarrow \tilde{\beta}\left(T^{2} / V\right) \equiv \frac{T^{2}}{3} \gamma(V)$, то должна существовать постоянная величина $\alpha$, такая, что $\gamma(V)=\frac{\alpha}{V}$, и тогда $\tilde{\beta}(x)=\frac{\alpha T^{2}}{3 V}$. Значит,

Связь калорического и термического уравнения состояний приводит к уравнению:
$$T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V=\mathrm{const}}-p=\frac{2 T^{2}}{V} f^{'}\left(\frac{T^{2}}{V}\right)-f\left(\frac{T^{2}}{V}\right)=\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T=\mathrm{const}}=-\frac{\alpha T^{4}}{4 V^{2}}$$Иными словами, $2 x \frac{d f}{d x}-f=-\frac{\alpha}{4} x^{2}$. Нетрудно заметить, что этому условию удовлетворяет функция $f(x)=-\frac{\alpha}{12} x^{2}$, то есть термическое уравнение состояния имеет вид

Примечание:

На самом деле ясно, что общее решение этого дифференциального уравнения $f(x)=D \cdot \sqrt{x}-\frac{\alpha}{12} x^{2}$, где $D$ – произвольная постоянная. Однако уравнение изохоры имеет заданный в условии вид только при $D=0$.

Следует обратить внимание на то, что давление нашего вещества всегда отрицательно! Это весьма необычно для «нормальных» газов, однако отрицательные давления могут быть у вещества в конденсированном состоянии в некоторой области значений параметров состояния.

Кроме того, разновидности материи с подобными уравнениями состояния иногда рассматриваются в инфляционной космологии (квинтэссенция, обобщенный газ Чаплыгина).

Используя результаты 2.3. и 2.2. вместе, находим: $U(p, V)=-3 p V$.
Уравнение адиабаты получается из условия $p d V+d U=0$ из которого следует: $\frac{2}{3} p d V+V d p=0 \Rightarrow d\left(p V^{2 / 3}\right)=0$.
Значит, уравнение адиабаты

Цикл Стирлинга для PT$^{'}$ в координатах давление-объем имеет вид, показанный на рисунке. Уравнение изотермы $p=-\frac{\alpha T^{4}}{12 V^{2}}$, и поэтому работа, совершаемая над PT$^{'}$ в процессе 1-2, равна $A_{12}^{'}=\frac{\alpha T_{C}^{4}}{12} \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{d V}{V^{2}}=\frac{\alpha T_{C}^{4}}{12}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right)$, и аналогично $A_{34}^{'}=\frac{\alpha T_{H}^{4}}{12}\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)$. Поэтому полная работа, совершаемая над PT$^{'}$ $A^{\prime}=\frac{\alpha\left(T_{H}^{4}-T_{C}^{4}\right)\left(V_{1}-V_{2}\right)}{12 V_{1} V_{2}}$. Количество теплоты, которое PT$^{'}$ получило в цикле, равно $Q_{X}^{'}=Q_{23}+Q_{12}$. Для изохорного процесса $Q_{23}=U_{3}-U_{2}=\frac{\alpha}{4 V_{2}}\left(T_{H}^{4}-T_{C}^{4}\right)$. Для изотермы
$$Q_{12}=U_{2}-U_{1}-A_{12}^{\prime}=\frac{\alpha T_{C}^{4}}{4}\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)-\frac{\alpha T_{C}^{4}}{12}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right)=\frac{\alpha T_{C}^{4}}{3}\left(\frac{1}{V_{2}}-\frac{1}{V_{1}}\right)$$

Таким образом, $Q_{X}^{'}=\frac{\alpha}{12 V_{1} V_{2}}\left[3 V_{1} T_{H}^{4}-\left(4 V_{2}-V_{1}\right) T_{C}^{4}\right]$. Следовательно, $\chi=\frac{Q_{X}^{'}}{A^{'}}=\frac{3 V_{1} T_{H}^{4}-\left(4 V_{2}-V_{1}\right) T_{C}^{4}}{\left(T_{H}^{4}-T_{C}^{4}\right)\left(V_{1}-V_{2}\right)}$. По условию, величины $n \equiv \frac{T_{H}}{T_{C}}$ и $m \equiv \frac{V_{1}}{V_{2}}$ – точно такие же, как и в цикле РТ. Это означает, что $\frac{1}{n}=1-\frac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}=1-\delta \Rightarrow n=\frac{1}{1-\delta}=\frac{25}{18} \approx 1.3889$.
КПД цикла Стирлинга для трехатомного идеального газа вычисляется просто:
работа в цикле $A=\nu R\left(T_{H}-T_{C}\right) \ln \left(V_{1} / V_{2}\right)$,
а теплота нагревателя $Q_{H}=3 v R\left(T_{H}-T_{C}\right)+\nu R T_{H} \ln \left(V_{1} / V_{2}\right)$,
поэтому КПД $\eta_{0}=\frac{\delta \cdot \ln m}{3 \delta+\ln m}$.
Значит, $m=\exp \left(\frac{3 \delta \eta_{0}}{\delta-\eta_{0}}\right)=e^{2.52} \approx 12.4286$.
Как нетрудно заметить,

При использовании регенерации КПД цикла РТ остается таким же, то есть $A+A^{'}=\eta_{0}\left(Q_{H}+Q_{H}^{'}\right)$. С другой стороны, $\chi \equiv \frac{Q_{H}^{'}}{A^{'}}-1$, и поэтому $A^{'}=\frac{Q_{H}^{'}}{1+\chi}$. Наконец, используем известное значение коэффициента регенерации: $Q_{H}^{'}=\frac{r}{1-r} Q_{H}$. Из этих соотношений находим