|
A1. 1
Определена площадь элемента сферы: $$dS=2\pi{R}^2\sin\alpha d\alpha $$ |
0.10 |
|
|
A1. 2
Записано выражение для силы, действующей на каплю: $$F_y=2\pi{R}^2f\int\limits_0^{\pi}\sin^2\theta d\theta $$ |
0.10 |
|
|
A1. 3
Верно вычислен интеграл: $$F_y=\pi^2R^2f $$ |
0.20 |
|
|
A1. 4
Записано условие равновесия капли: $$\pi^2R^2f=\cfrac{4\pi{R}^3\rho g}{3} $$ |
0.10 |
|
|
A1. 5
Получен ответ: $$f=\cfrac{2\rho gD}{3\pi} $$ |
0.10 |
|
|
A2. 1
Записано выражение для горизонтальной компоненты силы, действующей на каплю в малом угловом диапазоне $d\theta d\varphi$: $$dF_x=f\cdot R^2\sin\theta d\theta d\varphi\cdot\cos\theta\cdot\cos\varphi $$ |
0.30 |
|
|
A2. 2
Получено выражение для $F_a$: $$F_a=fR^2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta d\theta\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi $$ |
0.20 |
|
|
A2. 3
Верно вычислены интегралы: $$\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta d\theta=\cfrac{1}{2}\qquad \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi=2 $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A2. 4
Получено выражение для $F_a$ через $f$: $$F_a=fR^2 $$ |
0.10 |
|
|
A2. 5
Получен ответ: $$F_a=\cfrac{\rho gD^3}{6\pi} $$ |
0.20 |
|
| A3. 1 Указано, что горизонтальная компонента силы поверхностного натяжения создаётся полуокружностью, лежащей в вертикальной плоскости. | 0.30 |
|
|
A3. 2
Получен ответ: $$F_t=\cfrac{\pi D\sigma}{2} $$ |
0.20 |
|
|
A4. 1
Получено выражение для $D_{M}$: $$D_{M}=\cfrac{\pi}{10}\sqrt{\cfrac{3\sigma}{\rho g}} $$ |
0.20 |
|
|
A4. 2
Найдено численное значение $D_M$: $$D_{max}\approx 1{.}5~\text{мм} $$ |
0.20 |
|
|
B1. 1
Записан закон Снэлла: $$\sin\alpha=n\sin\varphi $$ |
0.10 |
|
|
B1. 2
Рисунок либо рассуждения, приводящие к формуле: $$\theta=4\varphi-2\alpha $$ |
0.40 |
|
|
B1. 3
Получен ответ: $$\theta=4\arcsin\left(\cfrac{\sin\alpha}{n}\right)-2\alpha $$ |
0.30 |
|
|
B2. 1
Получена формула: $$J(\theta)=\cfrac{1}{2\pi}\cdot\cfrac{dP}{d\theta} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 2
Связь $d\theta$ и $d\alpha$: $$d\theta=\left(\cfrac{\partial \theta}{\partial \alpha}\right)d\alpha=\left(\cfrac{4\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}}-2\right)d\alpha $$ |
0.30 |
|
|
B2. 3
Получена формула: $$J(\theta)=\cfrac{1}{4\pi(2\cos\alpha/\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}-1)}\cdot\cfrac{dP}{d\alpha} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 4
Учёт величин $T_1$, $T_2$ и $R_e$: $$dP=dP_0\cdot T_1T_2R_e $$ |
0.10 |
|
|
B2. 5
Получена формула для $dP_0/d\alpha$: $$\cfrac{dP_0}{d\alpha}=2\pi{R}^2I_0\sin\alpha d(\sin\alpha)=2\pi{R}^2I_0\sin\alpha\cos\alpha $$ |
0.40 |
|
|
B2. 6
Получен ответ: $$J(\theta)=\cfrac{I_0T_1T_2R_eD^2\sin2\alpha}{16\left(\cfrac{2\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}}-1\right)} $$ |
0.20 |
|
| B3. 1 Указано, что при нулевом знаменателе интенсивность равна бесконечности. | 0.20 |
|
|
B3. 2
Получена формула для $\theta_M$(при правильно численном значении пункт оценивается в полный балл даже без наличия формулы): $$\theta_M=4\arcsin\sqrt{\cfrac{4-n^2_g}{3n^2_g}}-2\arcsin\sqrt{\cfrac{4-n^2_g}{3}} $$ |
0.20 |
|
|
B3. 3
Определено численное значение $\theta_M$: $$\theta_M\approx41{.}9^{\circ} $$ |
0.10 |
|
| B4. 1 Понимание, что при $\lambda{<}550~\text{нм}$ интенсивность равна нулю. | 0.30 |
|
| B4. 2 Для $\lambda{>}550~\text{нм}$ на графике построена монотонно убывающая функция с бесконечным пределом при $\lambda=550~\text{нм}$. | 0.10 |
|
| B4. 3 На графике построен горизонтальный участок для $\lambda{<}550~\text{нм}$. | 0.10 |
|
| C1. 1 Указано, что угловой размер радуги равен $\theta_{Mr}$. | 0.10 |
|
|
C1. 2
Определён угловой размер радуги $\theta_0$: $$\theta_0=42{.}28^{\circ}\approx 42{.}3^{\circ} $$ |
0.10 |
|
|
C1. 3
Определено значение $\theta_{Mv}$: $$\theta_{Mv}=40{.}52^{\circ} $$ |
0.10 |
|
|
C1. 4
Определена величина $\Delta{\theta}_1$: $$\Delta\theta_1=1{.}76^{\circ} $$ |
0.10 |
|
| C1. 5 Учтён угловой размер Солнца. | 0.30 |
|
|
C1. 6
Получен ответ: $$\Delta\theta=2{.}26^{\circ}\approx 2{.}3^{\circ} $$ |
0.10 |
|
|
C2. 1
Записано условие, при котором дифракционный радиус не превышает угловой размер радуги: $$d\geq\cfrac{1.22\lambda}{\sin\Delta\theta} $$ |
0.50 |
|
| C2. 2 Сделан вывод, что минимальное значение диаметра достигается для $\lambda_v$. | 0.30 |
|
|
C2. 3
Получен ответ (по 0.1 балла за формулу и численное значение): $$d_m=\cfrac{1.22\lambda_v}{\sin\Delta\theta}=12{.}1~\text{мкм} $$ |
2 × 0.10 |
|
Примечание: на сферическую каплю радиусом $r$, движущуюся с малой скоростью $v$ в среде с вязкостью $\eta$, в соответствии с формулой Стокса действует сила сопротивления, равная:
$$F_\text{сопр}=6\pi r\eta v
$$
| C3. 1 Указано, что движение капли можно считать равномерным. | 0.10 |
|
|
C3. 2
Определена скорость капли: $$v=\cfrac{\rho gd^2}{18\eta} $$ |
0.20 |
|
|
C3. 3
Получен ответ (по 0.2 балла за формулу и численное значение): $$T_M=\cfrac{18\eta H}{\rho gd^2_m}\approx 1{.}355\cdot 10^5~\text{с}=37{.}6~\text{часов} $$ |
2 × 0.20 |
|
|
C4. 1
Найдено теоретически максимально возможное время существования радуги: $$T_{Mr}=9{.}4~\text{часа} $$ |
0.50 |
|
| C4. 2 Указано, что радуга пропадает при условии превышения угловой высоты Солнца величины $\theta_0$. | 0.50 |
|
| C4. 3 Указано, что в точках, близких к полюсам, угловая высота Солнца может быть сколь угодно малой. | 0.50 |
|
|
C4. 4
Получен ответ: $$T_r=9{.}4~\text{часа} $$ |
0.50 |
|