Pho.rs: Двулучепреломление и удвоение частоты

1 ^?? Руководствуясь принципом Гюйгенса, опишите схему, позволяющую определить направление распространения волны в одноосном кристалле.

Ответ:

Обыкновенная волна:

Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой сферы. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Векторы $\vec k_o$ и $\vec N_o$ будут направлены вертикально вниз.

Необыкновенная волна:

Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой эллипсоиды вращения, причём их малые полуоси будут параллельны оси кристалла. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Таким образом, волновой вектор $\vec k_e$ (он же градиент фазы) будет направлен вертикально вниз. Направление распространения $\vec N_e$ будет определяться вектором из центра эллипсоида к точке касания его с огибающей.

2 ^?? Нарисуйте волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в кристалле. Отобразите на рисунке их волновые вектора $\vec k_o$, $\vec k_e$ (перпендикулярны фронтам) и направления распространения волн $\vec N_o$, $\vec N_e$ соответственно. Для определённости считайте, что $n_o > n_e$.

Ответ:

3 ^?? Выразите угол $\xi$ между направлением распространения $\vec N_e$ необыкновенной волны и оптической осью кристалла через $n_o$, $n_e$ и $\theta$.

Если взять ось кристалла в качестве оси $x$, а ось, перпендикулярную ей и лежащую в плоскости рисунка, в качестве оси $y$, то уравнение волнового фронта точечного источника через время $t$ имеет вид:\[\frac{n_o^2x^2}{c^2t^2}+\frac{n_e^2y^2}{c^2t^2}=1.\]Касательная к этому эллипсу, проходящая под углом $\theta$ к оси $y$, должна касаться его в точке, в которой\[\left|\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\right|=\operatorname{tg}\theta.\]Поскольку для касательной к эллипсу:\[n_o^2x~\mathrm dx+n_e^2y~\mathrm dy=0,\]то координаты точки касания связаны как:\[\frac yx=-\frac{n_o^2}{n_e^2}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\frac{n_o^2}{n_e^2}\operatorname{tg}\theta.\]Наконец, т.к. $\operatorname{tg}\xi=y/x$, то

Ответ: \[\xi=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_o^2}{n_e^2}\operatorname{tg}\theta\right]\]

4 ^?? Найдите $n_o$ и $n_e$ в кристалле BBO при длинах волны в вакууме $800.0~нм$ и $400.0~нм$.

Ответ: \[n_{o800}=1.661,\quad n_{e800}=1.544,\quad n_{o400}=1.693,\quad n_{e400}=1.568\]

5 ^?? Как связаны между собой волновые векторы фотона до $(\vec k_1)$ и после $(\vec k_2)$ удвоения частоты?

Из закона сохранения импульса:

Ответ: \[\vec k_2=2\vec k_1\]

6 ^?? Предложите способ удовлетворить законам сохранения при удвоении частоты в кристалле BBO. Длина волны используемого света в вакууме равна $800~нм$.

Для удвоения света должны быть одновременно выполнены законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения энергии выполнен, когда волновые векторы фотонов связаны соотношением $k_2=2k_1$ не только внутри кристалла, но и в вакууме. Иначе говоря, показатель преломления кристалла для падающего света и удвоенного должен быть один и тот же. Рассмотрим все возможные случаи:

Поскольку показатели преломления $n_{o,e}$ монотонно зависят от длины волны, то переходы $o\to o$ и $e\to e$ не могут удовлетворить требуемому условию.
Поскольку $n_{e800}\notin[n_{e400},n_{o400}]$, то переход $e\to o$ не может удовлетворить требуемому условию.
Поскольку $n_{o800}\in[n_{e400},n_{o400}]$, то переход $o\to e$ может удовлетворить требуемому условию. $\implies$

Ответ: Удвоение частоты возможно только при преобразовании обыкновенного света $(800~нм)$ в необыкновенный $(400~нм)$.

7 ^?? При каком угле $\theta$ можно будет удвоить частоту этого света при пропускании через кристалл BBO?

Скорость движения волнового фронта (фазовая скорость) необыкновенной волны:\[v^2=\left(\begin{array}c \dfrac{c^2}{n_{o400}^2}\cos\theta\\\dfrac{c^2}{n_{e400}^2}\sin\theta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}c\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right)=c^2\frac{n_{o400}^{-2}+n_{e400}^{-2}\operatorname{tg}^2\theta}{1+\operatorname{tg}^2\theta}=c^2 n_{o800}^{-2}\implies\]

Ответ: \[\theta=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{e400}}{n_{o400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]=29.0^\circ\]

8 ^?? Чему при этом будет равен угол $\alpha$ между волновым вектором $\vec k_e$ необыкновенной волны и направлением её распространения $\vec N_e$?

Угол $\alpha=\xi-\theta$. Найдём $\xi$:\[\xi=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}^2}{n_{e400}^2}\operatorname{tg}\theta\right]=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}}{n_{e400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]\implies\]

Ответ: \[\alpha=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}}{n_{e400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]-\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{e400}}{n_{o400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]=3.9^\circ\]

Двулучепреломление и удвоение частоты

Решение