Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой сферы. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Векторы $\vec k_o$ и $\vec N_o$ будут направлены вертикально вниз.
Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой эллипсоиды вращения, причём их малые полуоси будут параллельны оси кристалла. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Таким образом, волновой вектор $\vec k_e$ (он же градиент фазы) будет направлен вертикально вниз. Направление распространения $\vec N_e$ будет определяться вектором из центра эллипсоида к точке касания его с огибающей.
Из закона сохранения импульса:
Для удвоения света должны быть одновременно выполнены законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения энергии выполнен, когда волновые векторы фотонов связаны соотношением $k_2=2k_1$ не только внутри кристалла, но и в вакууме. Иначе говоря, показатель преломления кристалла для падающего света и удвоенного должен быть один и тот же. Рассмотрим все возможные случаи:
Скорость движения волнового фронта (фазовая скорость) необыкновенной волны:\[v^2=\left(\begin{array}c \dfrac{c^2}{n_{o400}^2}\cos\theta\\\dfrac{c^2}{n_{e400}^2}\sin\theta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}c\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right)=c^2\frac{n_{o400}^{-2}+n_{e400}^{-2}\operatorname{tg}^2\theta}{1+\operatorname{tg}^2\theta}=c^2 n_{o800}^{-2}\implies\]
Угол $\alpha=\xi-\theta$. Найдём $\xi$:\[\xi=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}^2}{n_{e400}^2}\operatorname{tg}\theta\right]=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}}{n_{e400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]\implies\]