Рассмотрим произвольный нерелятивистский одноатомный газ. Если бы размерами молекул газа и их взаимодействием можно было пренебречь, мы пришли бы к модели идеального газа, однако для описания реальных газов эта модель не всегда оказывается применимой. Альтернативой выступает построенная Ван-дер-Ваальсом модель, в которой уравнение состояния для 1 моля газа имеет вид:\[\left(P+\frac a{V^2}\right)\left(V-b\right)=RT,\]где $T$, $P$ и $V$ — температура, давление и объём газа соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная, $a$ и $b$ — некоторые положительные величины. Несложно видеть, что для любого фиксированного $T$ в пределе $V\to+\infty$ эта модель переходит в модель идеального газа.

1 Каков физический смысл величины $b$? Оцените её, считая молекулы газа твёрдыми шариками радиуса $r$. Постоянная Авогадро равна $N_A$.

2 Перепишите уравнение Ван-дер-Ваальса для $N$ молей газа. Молярный объём газа $v$ не должен содержаться в ответе.

Известно, что молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме $C_V$ удовлетворяет условию:\[\left(\frac{\partial C_V}{\partial v}\right)_T=\left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_v,\]где $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$ означает производную $f$ по $x$ при постоянном $y$.

3 Покажите, что $C_V=\operatorname{const}$ и найдите её значение.

Внимание! Не подставляйте этот результат в последующие выкладки!

Известно, что молярная внутренняя энергия $u$ газа Ван-дер-Ваальса равна:\[u=C_VT-\frac av.\]

4 Получите выражение для молярной энтропии $s(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса. Запишите уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса.

Примечание: Ваш ответ может содержать неопределённые константы.

Пусть 1 моль газа Ван-дер-Ваальса участвует в следующем цикле Карно:

1. изотермическое расширение при температуре $T_1$, объём увеличивается с $V_1$ до $V_2$;
2. адиабатическое охлаждение — температура падает с $T_1$ до $T_2$, объём увеличивается с $V_2$ до $V_3$;
3. изотермическое сжатие при температуре $T_2$, объём уменьшается с $V_3$ до $V_4$;
4. адиабатическое нагревание — температура растёт с $T_2$ до $T_1$, объём уменьшается с $V_4$ до $V_1$.

5 Найдите подводимую к газу $(Q_1)$ и отводимую от газа $(Q_2)$ теплоту. Найдите КПД цикла $\eta$ и представьте его как функцию только температур $T_1$ и $T_2$.

Наконец, определим коэффициент изотермической сжимаемости как:\[\kappa_T=-\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T.\]

6 Получите выражение для коэффициента изотермической сжимаемости $\kappa_T(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса в предельном случае $a\ll Pv^2$. В каком диапазоне могут лежать значения $\kappa_T$? Каков физический смысл полученного результата?