1  ^?? Каков физический смысл величины $b$? Оцените её, считая молекулы газа твёрдыми шариками радиуса $r$. Постоянная Авогадро равна $N_A$.

Из-за конечного размера молекул существует конечный минимальный объём, который может занимать газ. Таким образом, $b$ — молярный объём молекул.

Рассмотрим пару молекул. Поскольку они не могут сблизиться на расстояние меньше $2r$, то этой паре молекул соответствует минимальный объём $\frac{4\pi}{3}(2r)^3$, тогда на одну молекулу приходится $\frac{16\pi}{3}r^3\implies$

2  ^?? Перепишите уравнение Ван-дер-Ваальса для $N$ молей газа. Молярный объём газа $v$ не должен содержаться в ответе.

Изменяются только аддитивные величины. В уравнении Ван-дер-Ваальса объём изменяется на $V \to V/N \implies$

3  ^?? Покажите, что $C_V=\operatorname{const}$ и найдите её значение.

Внимание! Не подставляйте этот результат в последующие выкладки!

Давление одного моля газа:\[p=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2},\]где $v$ — молярный объём. Тогда\[\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\frac{R}{v-b},\quad \left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0\implies\left(\frac{\partial C_V}{\partial v}\right)_T=T\left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0.\]Таким образом, теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса не зависит от его объёма (т.е. зависит только от температуры). Поскольку в пределе больших объёма и температуры ($v\gg b$, $T\gg a/vR$) теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса совпадает с теплоёмкостью идеального газа, то они совпадают и при других объёмах и температурах $\implies$

\[C_V=\frac32R\]

4  ^?? Получите выражение для молярной энтропии $s(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса. Запишите уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса.

Примечание: Ваш ответ может содержать неопределённые константы.

Внутренняя энергия одного моля газа Ван-дер-Ваальса равна:\[u=C_VT-\frac{a}{v}\implies\mathrm du=C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}\mathrm dv.\]Первое начало термодинамики:\[\delta Q=\mathrm du+\delta A.\]Дифференциал энтропии:\[\mathrm ds=\frac{\delta Q}{T}=\frac{1}{T}~\mathrm du+\frac{p}{T}~\mathrm dv=\frac{1}{T}\left(C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}~\mathrm dv\right)+\frac{1}{T}\left(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\right)~\mathrm dv=C_V\frac{\mathrm dT}{T}+\frac{R}{v-b}~\mathrm dv\implies\]

А адиабатическом процессе энтропия постоянна, поэтому:\[C_V\ln T+R\ln(v-b)=\operatorname{const}\implies \]

5  ^?? Найдите подводимую к газу $(Q_1)$ и отводимую от газа $(Q_2)$ теплоту. Найдите КПД цикла $\eta$ и представьте его как функцию только температур $T_1$ и $T_2$.

Вычислим теплоту через изменение энтропии:\[Q_1=T_1\Delta s_1=\Big[(C_V\ln T_1+R\ln(v_2-b)+s_0)-(C_V\ln T_1+R\ln(v_1-b)+s_0)\Big]T_1\implies\]

Действуем аналогично:\[Q_2=-T_2\Delta s_2=-\Big[(C_V\ln T_2+R\ln(v_4-b)+s_0)-(C_V\ln T_2+R\ln(v_3-b)+s_0)\Big]T_2\implies\]

\[\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}\dfrac{\ln\frac{v_3-b}{v_4-b}}{\ln\frac{v_2-b}{v_1-b}}.\]Однако из уравнения адиабаты следует:\[\frac{v_3-b}{v_2-b}=\frac{v_4-b}{v_1-b}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{C_V/R}\implies\frac{v_2-b}{v_1-b}=\frac{v_3-b}{v_4-b}\implies\]

6  ^?? Получите выражение для коэффициента изотермической сжимаемости $\kappa_T(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса в предельном случае $a\ll Pv^2$. В каком диапазоне могут лежать значения $\kappa_T$? Каков физический смысл полученного результата?

Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса:\[\left(p+\frac{a}{v^2}\right)\left(v-b\right)=RT\implies\\R~\mathrm dT={\bigl(}v-b{\bigr)}\mathrm{d}p+{\left(p+{\frac{a}{v^{2}}}\right)}\mathrm{d}v-{\bigl(}v-b{\bigr)}{\frac{2a}{v^{3}}}\mathrm{d}v={\bigl(}v-b{\bigr)}\mathrm{d}p+{\Biggl[}{\frac{R T}{v -b}}-{\bigl(}v-b{\bigr)}{\frac{2a}{v^{3}}}{\Biggr]}\mathrm{d}v.\]Для нахождения изотермической сжимаемости нужно положить $\mathrm dT=0$, тогда:\[\kappa_T=-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_T=-\frac{1}{v}\left[\frac{2a}{v^3}-\frac{RT}{(v-b)^2}\right]^{-1}\implies\kappa_T^{-1}=\frac{RTv}{(v-b)^2}-\frac{2a}{v^2}.\]Поскольку\[\frac{RT}{v-b}=p+\frac{a}{v^2}\]из уравнения состояния, то:

В случае $a\ll Pv^2$ выражение упрощается до:\[\kappa_T^{-1}=\frac{v}{v-b}p\implies\]