начальные скорости $v_{0}$ осколков;

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вниз с ускорением $\vec g$, скорость которой равна нулю в момент взрыва фейерверка. В этой системе осколки движутся по прямолинейным траекториям, направления которых совпадают с направлениями векторов начальных скоростей (углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ на рисунке ниже).

Точки вспышек в этой системе отсчёта (т. $A$, $B$ и $C$) лежат на окружности радиусом $R = v_{0}\tau$, где $v_{0}$ — начальная скорость ракет, $\tau = 1~с$.
Точки $1$, $2$ и $3$, в которых происходят вспышки в земной системе отсчета лежат точно на такой же окружности, но её центр смещён вниз по отношению к вершине холма на $\Delta h=\frac{g \tau^{2}}{2}=5~м$.
Треугольники $AOB$ и $OBC$ — равносторонние с радиусом $R = l = 10~м$.
Таким образом, начальная скорость осколков $v_{0}=\frac{l}{\tau}=10~м/с$.

углы с горизонтом, под которыми направлены векторы начальных скоростей каждого из осколков;

Из геометрии $\alpha=15^{\circ}$, $\beta = 45^{\circ}$, $\gamma = 75^{\circ}$. Направления полёта, соответствующие значениям этих углов указаны на рисунке выше.

высоту $h$, на которой разорвался фейерверк.

Точка $О$ — центр окружности выше уровня земли на $OD = AO\sin 15^{\circ} = l \cdot \sin 15^{\circ}$. Чтобы определить высоту холма надо ещё прибавить $\Delta h=\frac{g\tau^{2}}{2}$. Окончательно, высота холма
$$
h=l \cdot \sin 15^{\circ}+\frac{g\tau^{2}}{2} \approx 7.6~м.
$$