Поршень отрывается, когда сила давления газа под поршнем становится равной сумме сил давления газа над поршнем и силы тяжести поршня: $p_{1}S_{1}=p_{2}S_{2}+mg$. Давление газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона: $pV=\nu RT\Rightarrow p=\nu RT/V$.
Из этих уравнений получим:
$$
mg=p_{1}S_{1}-p_{2}S_{2}=\frac{\nu R2T_{0}}{h_{1}}-\frac{\nu R2T_{0}}{h_{2}}=2\nu RT_{0}\left(\frac{1}{h_{1}}-\frac{1}{h_{2}}\right)=\frac{4}{3}\frac{\nu RT_{0}}{h}.
$$Отсюда масса поршня равна $m=\frac{4}{3}\frac{\nu RT_{0}}{gh}$.
Заметим, что как только поршень оторвётся от упоров, газ под поршнем начнёт давить сразу на всю его площадь, и сила давления скачком увеличится. Так как между поршнем и стенками есть малая сила трения, то через некоторое время поршень остановится в положении равновесия. Запишем условие равновесия:
$$
p_{1}^{'}S_{2}-p_{2}^{'}S_{2}=mg \Rightarrow \frac{\nu R\cdot 2T_{0}\cdot 3S}{S_{1}h_{1}+3S_{1}(h^{'}-h_{1})}-\frac{\nu R\cdot 2T_{0}\cdot 3S}{3S_{1}(4h_{1}-h^{'})}=\frac{4}{3}\frac{\nu RT_{0}}{h}. \\
\frac{3}{(3h^{'}-2h_{1})}-\frac{1}{(4h_{1}-h^{'})}=\frac{2}{3h}.
$$Отсюда
$$
\frac{14h-6h^{'}}{-3(h^{'})^{2}+14hh^{'}-8h^{2}}=\frac{2}{3h}.
$$Решая квадратное уравнение, получим: $h^{'}=\dfrac{23\pm \sqrt{181}}{6}h$.
Корень со знаком плюс не подходит, так как он больше $4h$. Окончательно:
$$
h^{'}=\frac{23-\sqrt{181}}{6}h \approx 1.6h.
$$
Пусть теперь газ охладился до температуры $T$. Запишем условие равновесия с учётом того, что $h = h_{1}$, и непосредственно перед соприкосновением с опорами газ давит на всю площадь поршня как сверху, так и снизу:
$$
\frac{\nu RT\cdot 3S_{1}}{S_{1}h_{1}}-\frac{\nu RT\cdot 3S_{1}}{3S_{1}\cdot 3h_{1}}=\frac{4}{3}\frac{\nu RT_{0}}{h_{1}} \Rightarrow \frac{8T}{3}=\frac{4T_{0}}{3}\Rightarrow T=\frac{T_{0}}{2}.
$$