1  ^1.00 Используя приведенный график зависимости спектральной светимости для температуры $T_{1}=2000~К$, найдите отношение энергий испускаемых черным телом в спектральных интервалах $(\lambda_{1}, \lambda_{1}+\Delta\lambda)$ и $(\lambda_{2}, \lambda_{2}+\Delta\lambda)$ для $\lambda_{1}=2.0\cdot 10^{-6}~м$, $\lambda_{2}=4.0\cdot 10^{-6}~м$, $\Delta\lambda=0.5\cdot 10^{-6}~м$.

Отношение энергий, испускаемых в диапазонах $(\lambda_{1}, \lambda_{1}+\Delta\lambda)$ и $(\lambda_{2}, \lambda_{2}+\Delta\lambda)$, равно отношению площадей под соответствующими графиками, определяемых в свою очередь количеством клеток $$ \frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=4.5. $$

2  ^2.00 Вин установил, что длина волны $\lambda_{m}$, на которую приходится максимум спектральной светимости, связана с температурой соотношением $$ \lambda_{m}=bT^{n}, \ (1) $$ где величина $b$ называется постоянной Вина, $n$ — некоторая целочисленная постоянная. Используя приведенные графики, найдите значения постоянных $b$ и $n$.

Для каждого из графиков определяется длина волны максимума: $$ \lambda_{\max}=1.45\cdot 10^{-6}~м \text{ при } T_{1}=2000~К, \\ \lambda_{\max}=2.23\cdot 10^{-6}~м \text{ при } T_{2}=1300~К. $$ Из зависимости $\lambda=bT^{n}$, находим $n =-1$, $b = 2.9\cdot 10^{-3}~м\cdot К$.

3  ^3.00 Стефаном и Больцманом установлено, что интегральная светимость черного тела зависит от температуры по закону $$ R=\sigma T^{m}, \ (2) $$ здесь $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана, $m$ — некоторая целочисленная постоянная. Используя приведенные графики, найдите значения постоянных $\sigma$ и $m$.

Площади под графиками равны $R_{1} = 0.91~МВт/м^{2}$ при $T_{1} = 2000~К$, $R_{2} = 0.16~МВт/м^{2}$ при $T_{2} = 1300~К$. Из зависимости $R = \sigma T^{m}$ находим: $m = 4$, $\sigma = 5.7\cdot 10^{-8}~Вт/(м^{2}\cdot К^{4})$.

4  ^4.00 Спектральный состав излучения Солнца близок к спектральному составу излучения абсолютно черного тела с $\lambda_{m}=0.48\cdot 10^{-6}~м$. Оцените время, за которое благодаря тепловому из-лучению, масса Солнца уменьшится на $1\%$. Масса Солнца — $2\cdot 10^{30}~кг$, его радиус $7\cdot 10^{8}~м$.

Согласно установленному закону Вина, излучение Солнца соответствует температуре черного тела, равного $$ T_{0}=\frac{b}{\lambda_{m}}. $$ Мощность излучения Солнца составляет по закону Стефана–Больцмана $$ W=\sigma T^{4}4\pi R^{2}, $$ где $R$ — радиус Солнца. Солнце должно потерять энергию $$ U=0.01Mc^{2}, $$ где $M$ — масса Солнца, $c$ — скорость света. Таким образом, искомое время равно $$ t=\frac{U}{W}=\frac{0.01Mc^{2}}{\sigma(b/\lambda_{m})^{4}4\pi R^{2}}=3.8\cdot 10^{18}~с. $$