a  ^1,00 Напишите соотношение, которому должны удовлетворять импульс $p$ и радиус орбиты $r$ каждого электрона для основного состояния атома гелия.

Согласно постулату Бора орбитальный момент импульса каждого электрона принимает следующий дискретный ряд значений
$$
m_{e}v\cdot r=n \hbar, \text{ где } n=1, 2, 3, \dots
$$
Для основного состояния $n=1$. Тогда
$$
p \cdot r= \hbar.
$$

b  ^2,00 Напишите выражение для потенциальной энергии системы как функцию $r$.

Потенциальная энергия системы состоит из энергии притяжения электронов с ядром и энергии отталкивания электронов между собой. Классически система может совершать вращательное движение по круговым орбитам только если электроны все время расположены по разные стороны от ядра. При этом система имеет потенциальную энергию
$$
E_{p}=-\frac{1}{\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}+\frac{1}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}=-\frac{7}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
$$

c  ^2,00 Определите выражение для радиуса орбиты электронов $r$ и найдите его численное значение.

Второй закон Ньютона для каждого из электронов имеет вид:
$$
m_{e}\frac{v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{2e^{2}}{r^{2}}-\frac{e^{2}}{4r^{2}} \right).
$$
С учетом квантования орбитального момента импульса из этого уравнения получим
$$
r=\frac{16\pi\varepsilon_{0}}{7}\frac{\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}}.
$$
Численное значение
$$
r=3.02\cdot 10^{-11}~м.
$$

d  ^1,00 Определите выражение для полной энергии основного состояния атома гелия и найдите ее численное значение.

Полная энергия основного состояния атома гелия
$$
E=E_{k}+E_{p}=2\frac{p^{2}}{2m_{e}}-\frac{7}{8\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r}.
$$
С учетом квантования орбитального момента импульса и выражения для радиуса орбиты из предыдущего пункта имеем
$$
E=-\left(\frac{7}{16\pi\varepsilon_{0}} \right)^{2}\frac{me^{4}}{\hbar^{2}}.
$$
Численное значение
$$
E=-133.32\cdot 10^{-19}~Дж=-83.3~эВ.
$$

e  ^2,00 Определите выражение для энергии однократной ионизации атома гелия и найдите ее численное значение.

Однократно ионизированный атом гелия представляет собой водородоподобный атом с зарядом ядра $+2e$. Его энергия определяется по следующей формуле
$$
E_{1}=-\frac{1}{8\pi^{2}\varepsilon^{2}_{0}}\frac{me^{4}}{\hbar^{2}}=-87.06\cdot 10^{-19}~Дж=-54.4~эВ.
$$
Тогда энергия однократной ионизации нейтрального атома гелия
$$
E_{ion}=E_{1}-E=28.9~эВ.
$$

f  ^2,00 Оцените давление, при котором произойдет ионизация атомов гелия.

Атомы ионизируются под действием внешнего давления, когда работа для изменения объема на величину порядка размера атома равна энергии ионизации. В качестве оценки это условие запишется как
$$
E_{ion} \sim \frac{4\pi r^{3}}{3}p_{ion}.
$$
Численное значение давления порядка
$$
p_{ion}\sim 10^{14}~Па.
$$