Pho.rs: Эволюция системы бинарных сверхмассивных черных дыр

A1 ^0.75 Перейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис. 1). Будем предполагать, что: $$b\gg b_1 =\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем.

1 Используется идея: $$\alpha=\cfrac{p_y}{p_x}{.} $$	0.10
2 Записано выражение для $p_y$: $$p_y=\int F_ydt{.} $$	0.10
3 Записано выражение для $F_y$: $$F_y=\cfrac{GMm\cos^3\varphi}{b^2}{.} $$	0.20
4 Записано любое из выражений ниже, либо эквивалентных им: $$dt=\cfrac{dx}{v}\qquad dt=\cfrac{bd\varphi}{v\cos^2\varphi}\qquad p_y=\cfrac{GMm}{vb}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi d\varphi{.} $$	0.10
5 Получен ответ: $$\alpha=\cfrac{2GM}{v^2b}\quad\text{или}\quad k=2{.} $$	0.25

A2 ^0.25 Пусть ось $\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\mathrm{Ox}$ импульса $\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре.

1 Получено выражение: $$\Delta{p}_x=p(1-\cos\alpha)\quad\text{или}\quad \Delta{p}_x=\mp\cfrac{{\Delta{p}}^2_y}{2p}{.} $$	0.10
2 Получен ответ: $$\Delta{p}_x=\mp\cfrac{2G^2M^2m}{b^2v^3}=\cfrac{2b^2_1p}{b^2}{.} $$	0.15

A3 ^0.40 Оцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\rho=mn$.

1 Записана формула для числа частиц (с точностью до коэффициента 10): $$\Delta{N}=2\pi b\Delta{b}vn\Delta{t}{.} $$	0.20
2 Получен ответ (с точностью до коэффициента 10): $$F_{DF}=\mp\cfrac{4\pi G^2M^2\rho}{v^2}\ln\cfrac{Rv^2}{GM}{.} $$	0.20

A4 ^0.20 Полученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\log \Lambda$. Вычислите значение $\log \Lambda$ для $M =10^8~M_s$, $R = 20~кпк = 20 \cdot 10^3~пк$ и скорости $v= 200~км/с$.

1 Получен ответ:
$$\log\Lambda=7{.}4-7{.}6{.}
$$

0.20

B1 ^0.25 Найдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a$,$G$ и $M$.

1 Получено выражение: $$v_{bin}=\sqrt{\cfrac{GM}{4a}}{.} $$	0.10
2 Получен ответ: $$E=-\cfrac{GM^2}{4a}{.} $$*Неверный численный коэффициент не влияет на последующие баллы.	0.15

B2 ^0.50 Решим вспомогательную задачу.

Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\gg m$, находящейся в состоянии покоя.

$r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения,
$\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$.

Найдите точное значение прицельного параметра $b$.

1 Записан закон сохранения момента импульса: $$b\sigma=r_mv_0{.} $$	0.10
2 Записан закон сохранения энергии: $$\cfrac{\sigma^2}{2}=\cfrac{v^2_0}{2}-\cfrac{GM_2}{r_m}{.} $$	0.10
3 Получен ответ: $$b=r_m\sqrt{1+\cfrac{2GM}{\sigma^2r_m}}{.} $$	0.30

B3 ^1.00 Оцените характерное время $\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\sigma\ll v_{bin}$.

1 Оценено время $\Delta{t}$: $$\Delta{t}=\cfrac{1}{\pi\sigma r^2n}{.} $$	0.20
2 Оценен радиус $r$: $$r=b_{max}{.} $$	0.30
3 Записано выражение для $b_{max}$: $$b_{max}=a\sqrt{1+\cfrac{4GM}{\sigma^2a}}\approx \cfrac{2}{\sigma}\sqrt{GMa}{.} $$	0.30
4 Получен ответ (с точностью до численного коэффициента): $$\Delta{t}=\cfrac{m\sigma}{4\pi GM\rho a}{.} $$	0.20

B4 ^0.25 Оцените скорость потерь энергии бинарной системы $\mathrm{d}E/\mathrm{d}t$. Оцените скорость изменения радиуса $\mathrm{d}a/\mathrm{d}t$. Выразите её через $a$, $\rho$, $\sigma$, $G$.

1 Получен ответ: $$\cfrac{dE}{dt}=-\cfrac{\pi G^2M^2\rho}{2\sigma}{.} $$	0.15
2 Получен ответ: $$\cfrac{da}{dt}=-\cfrac{2\pi G\rho{a}^2}{\sigma}{.} $$	0.10

B5 ^1.00

Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт «гравитационной рогатки». Вычислите $T_{SS}$ при:

$\sigma=200~км/с$,
$a_1=1~пк$,
$\rho=10^4~M_S/пк^3$.

1 Получено выражение для $T_{SS}$ (с точностью до численного коэффициента): $$T_{SS}=\cfrac{\sigma}{2\pi G\rho a_1}{.} $$	0.70
2 Определено численное значение $T_{SS}$ (с точностью до множителя $10$): $$T_{SS}=7{.}3\cdot 10^{-4}~Gy{.} $$	0.30

C1 ^0.20 Найдите скорость изменения радиуса бинарной системы $\mathrm{d}a/\mathrm{d}t$ за счет излучения гравитационных волн.

1 Получен ответ:
$$\cfrac{da}{dt}=-\cfrac{256}{5}\cdot\cfrac{G^3M^3}{c^5a^3}{.}
$$

0.20

C2 ^0.70 Обозначим начальный радиус системы как $a_2\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2$, $M$, $c$ и $G$.

1 Выражение для $da/dt$ проинтегрировано: $$\cfrac{a^4_2-r^4_s}{4}=\cfrac{256}{5}\cdot\cfrac{G^3M^3}{c^5}\cdot T_{GW}{.} $$	0.30
2 Получен ответ (с точностью до множителя $10)$: $$T_{GW}=\cfrac{5}{1024}\cdot\cfrac{a^4_2c^5}{G^3M^3}{.} $$	0.40

C3 ^0.10 Вычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$.

1 Получен ответ (с точностью до множителя $10$):
$$a_H=0{.}098~pc{.}
$$

0.10

D1 ^0.25 Пусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела.

1 Получено выражение: $$m(r)=\cfrac{\sigma^2r}{G}{.} $$	0.10
2 Получен ответ: $$v=\sigma{.} $$	0.15

D2 ^0.75 Оцените скорость изменения радиуса орбиты $\mathrm{d}a/\mathrm{d}t$. В части А
мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в A3
для оценки. Используйте выражение для плотности $\rho(r)$ из уравнения: $$\rho(r)=\frac{\sigma^2}{4\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\log \Lambda$, вычисленное в A4.

1 Получено выражение: $$\cfrac{dE}{dt}=\cfrac{dU}{dt}{.} $$Альтернативно здесь и далее: Закон изменения момента импульса.	0.30
2 Получено выражение: $$\cfrac{dU}{dt}=g(a)M{.} $$	0.20
3 Получено выражение: $$\cfrac{dE}{dt}=-F_{DF}v{.} $$	0.15
4 Получен ответ: $$\cfrac{da}{dt}=-\cfrac{GM\log\Lambda}{a\sigma}{.} $$	0.10

D3 ^0.30 Оцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис. 2).

1 Записано выражение: $$m(a)=M{.} $$	0.10
2 Получено выражение (с точностью до множителя $10$): $$a_1=\cfrac{GM}{\sigma^2}{.} $$	0.10
3 Получен численное значение $a_1$: $$a_1=1{.}{.}{.}100~pc{.} $$	0.10

D4 ^0.75 Предположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\cdot10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы.

1 Проинтегрировано выражение для $da/dt$: $$\cfrac{a^2_0-a^2_1}{2}=\cfrac{GMT_1\log\Lambda}{\sigma}{.} $$	0.40
2 Получено выражение (с точностью до множителя $10$): $$T_1=\cfrac{a^2_0\sigma}{2GM\log\Lambda}{.} $$	0.25
3 Получено численное значение $T_1$ (с точностью до множителя $10$): $$T_1=0{.}121~Gy{.} $$	0.10

D5 ^0.30 Оцените и вычислите, при каком радиусе $a_2$ это происходит.

1 Получено выражение: $$\dot{E}_{SS}=\dot{E}_{GW}{.} $$	0.10
2 Получено выражение (с точностью до множителя $10$): $$a^5_2=\cfrac{512}{5}\cdot\cfrac{G^3M^3a^2_1}{c^5\sigma}{.} $$	0.10
3 Получено численное значение $a_2$: $$a_2=0{.}001{.}{.}{.}0{.}1~pc{.} $$	0.10

D6 ^1.75 Оцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия «рогатки»). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн).

1 Идея пренебрежения $\dot{E}_{GW}$ в стадии рогатки и пренебрежения $\dot{E}_{SS}$ в стадии гравитационных волн.	0.25
2 Получено выражение: $$T_2\approx \cfrac{\sigma}{2\pi G\rho_1a_2}{.} $$	0.20
3 Получено численное значение $T_2$: $$T_2\approx 10^{-3}{.}{.}{.}10^{-1}~Gy{.} $$	0.65
4 Получено численное значение $T_3$: $$T_3\approx 10^{-4}{.}{.}{.}10^{-1}~Gy{.} $$	0.65

D7 ^0.30 Для параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр.

1 Записано выражение: $$T_{ev}=T_1+T_2+T_{GW}{.} $$	0.10
2 Если пункт $\mathrm{D6}$ оценен не в $0$ баллов: $$T_{ev}=0{.}02{.}{.}{.}2{.}00~Gy{.} $$	0.20

Эволюция системы бинарных сверхмассивных черных дыр

Разбалловка