Pho.rs: Эволюция системы бинарных сверхмассивных черных дыр

A1 ^0.75 Перейдем в систему отсчета, связанную со сверхмассивной черной дырой. Рассмотрим движение одной звезды с прицельным параметром $b$ (см. рис). Будем предполагать, что $$b\gg b_1 =\frac{GM}{v^2}.$$ Угловое отклонение звезды равно $\alpha=kb_1/b$, где $k$ — некоторый коэффициент. Найдите значение $k$. Если вы не можете найти значение $k$, примите $k=1$ в дальнейшем.

Ответ: $$k=2$$

A2 ^0.25 Пусть ось $\mathrm{Ox}$ направлена вдоль скорости черной дыры. Найдите проекцию на ось $\mathrm{Ox}$ импульса $\Delta p_x$, переданную звездой черной дыре.

Ответ: $$ \Delta p_x=-\frac{2 G^2 M^2 m}{b^2 v^3} $$

A3 ^0.40 Оцените среднюю силу $F_{DF}$, действующую на черную дыру, путем усреднения по прицельному параметру $b$. Вкладом звезд с прицельными параметрами $b < b_1$ можно пренебречь. Предполагается, что черная дыра находится в центральной части галактики. Выразите $F_{DF}$ через $M,v,R,G$, и плотность звезд $\rho=mn$.

Ответ: $$ F_{D F}=-4 \pi G^2 M^2 \frac{\rho}{v^2} \log \Lambda $$

A4 ^0.20 Полученное в предыдущей задаче выражение для $F_{DF}$ содержит множитель $\log R/b_1$, который далее мы будем обозначать как $\log \Lambda$. Вычислите значение $\log \Lambda$ для $M =10^8M_s$, $R = 20 ~кпк = 20 \times 10^3 пк$ и скорости $v= 200~ км/с$.

Ответ: $$b_1=\frac{GM}{v^2}=10.7~pc, \log\Lambda=7.5$$

B1 ^0.25 Найдите орбитальную скорость $v_{bin}$ каждой чёрной дыры. Найдите полную энергию $E$ бинарной системы. Выразите их через $a,G$ и $M$.

Ответ: $$v_{bin}=\sqrt{\frac{GM}{4a}}$$ $$E=-\frac{GM^2}{4a}$$

B2 ^0.50 Решим вспомогательную задачу. Пусть звезда массой $m$ движется по направлению к точечной массе $M_2\gg m$, находящейся в состоянии покоя. $r_m$ — минимальное расстояние между звездой и точечной массой в процессе движения. $\sigma$ — скорость звезды на большом расстоянии от $M_2$. Найдите точное значение прицельного параметра $b$.

Ответ: $$ b=r_m \sqrt{1+\frac{2 G M_2}{\sigma^2 r_m}} . $$

B3 ^1.00 Оцените характерное время $\Delta t$ между двумя последовательными соударениями бинарной системы со звездами. Учтите, что $\sigma\ll v_{bin}$.

Ответ: $$\Delta t=\frac{m\sigma}{4\pi GM\rho a}$$

B4 ^0.25 Оцените скорость потерь энергии бинарной системы $dE/dt$. Оцените скорость изменения радиуса $da/dt$. Выразите её через $a,\rho,\sigma,G$.

Ответ: $$\frac{da}{dt}=-\frac{2\pi G\rho a^2}{\sigma}$$

B5 ^1.00 Пусть $a_1$ — начальный радиус системы. Оцените время $T_{SS}$, за которое радиус уменьшается в $2$ раза за счёт ”гравитационной рогатки”. Вычислите $T_{SS}$ при $\sigma=200~км/с$, $a_1=1~пк$, $\rho=10^4~M_S/пк^3$.

Ответ: $$ T_{S S}=\frac{\sigma}{2 \pi G \rho a_1}=7.3 \times 10^{-4} \mathrm{~Gy} $$

C1 ^0.20 Найдите скорость изменения радиуса бинарной системы $da/dt$ за счет излучения гравитационных волн.

Ответ: $$\frac{da}{dt}=-\frac{256}{5}\cdot\frac{G^3M^3}{c^5a^3}$$

C2 ^0.70 Обозначим начальный радиус системы как $a_2\gg r_g$. Оцените время $T_{GW}$, за которое бинарная система сжимается до радиуса $r_g$ за счет излучения гравитационных волн. Выразите $T_{GW}$ через $a_2, M, c$ и $G$.

Ответ: $$T_{GW}=\frac{5}{1024}\cdot\frac{a^4_2c^5}{G^3M^3}$$

C3 ^0.10 Вычислите начальный радиус $a_H$ бинарной системы с равными массами $M=10^8M_S$, время слияния которой равно возрасту Вселенной: $T_{GW}=t_H$.

Ответ: $$ a_H=\sqrt[4]{\frac{1024}{5} \cdot \frac{G^3 M^3 t_H}{c^5}}=0.098 \mathrm{pc} $$

D1 ^0.25 Пусть тело движется по круговой орбите радиусом $a< R$ в гравитационном поле звезд. Пренебрегая силой динамического трения, найдите скорость $v$ тела.

Ответ: $$v=\sigma$$

D2 ^0.75 Оцените скорость изменения радиуса орбиты $da/dt$. В части А мы считали все звезды неподвижными. Хотя в реальной галактике звезды движутся, не все из них имеют одинаковые скорости $\sigma$. Скорости звезд совпадают с $\sigma$ только по порядку величины, так же как и скорости черных дыр относительно звезд. Поэтому вы можете использовать результат, полученный в a.3 для оценки. Используйте выражение для плотности $\rho(r)$ из уравнения $$\rho(r)=\frac{\sigma^2}{4\pi Gr^2}.$$ Используйте значение $\log \Lambda$, вычисленное в a.4.

Ответ: $$\frac{da}{dt}=-\frac{GM\log\Lambda}{a\sigma}$$

D3 ^0.30 Оцените критический радиус $a_1$ при котором гравитационное взаимодействие между двумя черными дырами уже не пренебрежимо мало. Вычислите его. Будем говорить, что в этом момент две черные дыры образуют бинарную систему (см. рис).

Ответ: $$a_1=\frac{GM}{4\sigma^2}=2.7~\mathrm{pc}$$

D4 ^0.75 Предположим, что после слияния галактик две чёрные дыры находились на расстоянии $a_0=2~кпк=2\times10^3~пк$ от центра галактики. Из-за динамического трения образуется бинарная система. Вычислите время $T_1$, которое требуется для образования бинарной системы.

Ответ: $$ T_1=\frac{a_0^2 \sigma}{2 G M \log \Lambda}=0.121 \mathrm{~Gy} $$

D5 ^0.30 Когда радиус бинарной системы меньше некоторого значения $a< a_2~п$.

Ответ: $$a_2=0.018~\mathrm{pc}$$

D6 ^1.75 Оцените время $T_2$, за которое радиус бинарной системы изменяется от значения $a_1$ до значения $a_2$ (стадия ”рогатки”). Оцените время $T_3$, за которое радиус бинарной системы уменьшается от $a_2$ почти до нуля (стадия испускания гравитационных волн).

Ответ: $$T_2\approx0.0068~\mathrm{Gy}$$ $$T_3\approx0.0017~\mathrm{Gy}$$

D7 ^0.30 Для параметров, приведенных выше, вычислите общее время эволюции $T_{ev}$ от слияния галактик до слияния черных дыр.

Ответ: $$T_{ev}=0.13~\mathrm{Gy}$$

Эволюция системы бинарных сверхмассивных черных дыр

Решение