Logo
Logo

Китайский волчок

Разбалловка

A1  1.00 Найдите полную силу $\mathbf{F_{\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$.

1
2 Верно расставлены силы в плоскостях $xz~ и ~ xy.$ 2 × 0.25
3 Записано выражение для полной внешней силы $$F_{ext}=(N-mg)\hat{\textbf{z}}-\cfrac{\mu_kN}{|v_A|}\textbf{v}_A.$$ 0.50
A2  0.80 Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}$ относительно центра масс.

1 Записано выражение для момента сил: $$\tau_{ext}=\textbf{a}\times(N\hat{\textbf{z}}+\textbf{F}_f).$$ 0.20
2 Векторы $\textbf{a} ~и ~\textbf{F}_f$ расписаны в единичных векторах: $$\textbf{a}=\alpha R\hat{\textbf{3}}-R\hat{\textbf{z}}.$$ $$\textbf{F}_f=F_{f,x}\hat{\textbf{x}}+F_{f,y}\hat{\textbf{y}}.$$ 2 × 0.10
3 Вычислено векторное произведение: $$\tau_{ext}=(\alpha R\hat{\textbf{3}}-R\hat{\textbf{z}})\times(N\hat{\textbf{z}}-F_{f,x}\hat{\textbf{x}}+F_{f,y}\hat{\textbf{y}})=RF_{f,y}(1-\alpha\cos\theta)\hat{\textbf{x}}+(RF_{f,x}(\alpha\cos{\theta}-1)-\alpha RN\sin{\theta})\hat{\textbf{y}}+\alpha R\sin{\theta}F_{f,y}\hat{\textbf{z}}.$$ 0.40
A3  0.40 Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0$ данным.

1 Записано выражение для проекции скорости $\textbf{v}_A$ на ось $z$ через $\textbf{s},~\textbf{a}{:}$ $$(\textbf{v}_A\cdot\hat{\textbf{z}})=(\dot{\textbf{s}}+\dot{\textbf{a}})\cdot\hat{\textbf{z}}.$$ 0.30
2 Доказано требуемое утверждение. 0.10
A4  0.80 Найдите полную угловую скорость $\vec{\pmb{\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера: $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$, $\dot{\phi}=\frac{d\phi}{dt}$, и $\dot{\psi}=\frac{d\psi}{dt}$. Дайте ответы в двух системах координат: в координатах $xyz$ и в координатах $123$ .

1 Записано выражение для угловой скорости: $$\vec{\omega}=\dot{\theta}\hat{\textbf{2}}+\dot{\phi}\hat{\textbf{z}}+\dot{\psi}\hat{\textbf{3}}.$$ 0.40
2 Записано выражение для угловой скорости в координатах $xyz$: $$\vec{\omega}=\dot{\psi}\sin{\theta}\hat{\textbf{x}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{y}}+(\dot{\phi}+\dot{\psi}\cos{\theta})\hat{\textbf{z}}.$$ 0.20
3 Записано выражение для угловой скорости в координатах $123$: $$\vec{\omega}=-\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{1}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{2}}+(\dot{\phi}\cos{\theta}+\dot{\psi})\hat{\textbf{3}}.$$ 0.20
A5  1.00 Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера, $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\dot{\mathbf{s}}=\frac{d\mathbf{s}}{dt}$, то вы получите только часть баллов.

1 Записано выражение для полной механической энергии через энергию вращательного и поступательного движения, а также потенциальной энергии: $$E=\cfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\hat{\textbf{I}}\vec{\omega}+\cfrac{1}{2}m\dot{\textbf{s}}+mgR(1-\alpha\cos{\theta})$$ 0.20
2 Получена компонента, отвечающая за вращательное движение: $$E_{вр}=\cfrac{1}{2}I_1(\dot{\phi}^2\sin^2{\theta}+\dot{\theta}^2)+\cfrac{1}{2}I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})^2.$$ 0.30
3 Найден вектор $\dot{\vec{s}}:$ $$\dot{\vec{s}}=(v_x+\dot{\theta}R(1-\alpha\cos{\theta}))\hat{\textbf{x}}+(v_y-R\sin{\theta}(\alpha\dot{\phi}+\dot{\psi}))\hat{\textbf{y}}+\dot{\theta}\alpha R\sin{\theta}\hat{\textbf{z}}.$$ 0.30
4 Окончательно получено: $$E=\cfrac{1}{2}I_1(\dot{\phi}^2\sin^2{\theta}+\dot{\theta}^2)+\cfrac{1}{2}I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})^2+\cfrac{1}{2}m((v_x+\dot{\theta}R(1-\alpha\cos{\theta}))^2+(v_y-R\sin{\theta}(\alpha\dot{\phi}+\dot{\psi}))^2+(\dot{\theta}\alpha R\sin{\theta})^2)+mgR(1-\alpha\cos{\theta})$$ 0.20
A6  0.40 Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса.

1 Момент внешних сил спроецирован на ось $z$: $$\cfrac{d\textbf{L}}{dt}\cdot\hat{\textbf{z}}=\vec{\tau_{ext}}\cdot\hat{\textbf{z}}=\alpha R\sin{\theta}F_{f,y}.$$ 0.40
A7  1.40 Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями.

1 Показано, что $\vec{F}_f$ совершает работу. 0.40
2 $$\cfrac{d}{dt}E_{T}=-\mu_kN|\vec{v}_A|.$$ 1.00
A8  2.00 Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V, показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.

0 Полный балл ставится, если отображены все характерные участки графика.
2 2 × 0.25
3 2 × 0.25
4 4 × 0.25
A9  0.50 Покажите, что компоненты момента импульса $\mathbf L$ и угловой скорости $\pmb{\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\mathbf{\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.

1 Записано выражение для момента импульса $\vec{L}$: $$\vec{L}=\hat{\textbf{I}}\vec{\omega}=I_1(-\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{1}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{2}})+I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})\hat{\textbf{3}}.$$ 0.20
2 Получено выражение для компонент, перпендикулярных $\hat{\textbf{3}}:$ $$\vec{L}\times\hat{\textbf{3}}=I_1(\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{2}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{1}}).$$ 0.30
A10  1.70 При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\mathbf{v}$, такой что $\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}$ постоянно во времени. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю.

1 Показано, что $$\cfrac{d\vec{L}}{dt}\cdot\vec{a}=0.$$ 1.50
2 Получен ответ: $$\vec{v}=\vec{a}.$$ 0.20