1
|
|
|
2 Верно расставлены силы в плоскостях $xz~ и ~ xy.$ | 2 × 0.25 |
|
3 Записано выражение для полной внешней силы $$F_{ext}=(N-mg)\hat{\textbf{z}}-\cfrac{\mu_kN}{|v_A|}\textbf{v}_A.$$ | 0.50 |
|
1 Записано выражение для момента сил: $$\tau_{ext}=\textbf{a}\times(N\hat{\textbf{z}}+\textbf{F}_f).$$ | 0.20 |
|
2 Векторы $\textbf{a} ~и ~\textbf{F}_f$ расписаны в единичных векторах: $$\textbf{a}=\alpha R\hat{\textbf{3}}-R\hat{\textbf{z}}.$$ $$\textbf{F}_f=F_{f,x}\hat{\textbf{x}}+F_{f,y}\hat{\textbf{y}}.$$ | 2 × 0.10 |
|
3 Вычислено векторное произведение: $$\tau_{ext}=(\alpha R\hat{\textbf{3}}-R\hat{\textbf{z}})\times(N\hat{\textbf{z}}-F_{f,x}\hat{\textbf{x}}+F_{f,y}\hat{\textbf{y}})=RF_{f,y}(1-\alpha\cos\theta)\hat{\textbf{x}}+(RF_{f,x}(\alpha\cos{\theta}-1)-\alpha RN\sin{\theta})\hat{\textbf{y}}+\alpha R\sin{\theta}F_{f,y}\hat{\textbf{z}}.$$ | 0.40 |
|
1 Записано выражение для проекции скорости $\textbf{v}_A$ на ось $z$ через $\textbf{s},~\textbf{a}{:}$ $$(\textbf{v}_A\cdot\hat{\textbf{z}})=(\dot{\textbf{s}}+\dot{\textbf{a}})\cdot\hat{\textbf{z}}.$$ | 0.30 |
|
2 Доказано требуемое утверждение. | 0.10 |
|
1 Записано выражение для угловой скорости: $$\vec{\omega}=\dot{\theta}\hat{\textbf{2}}+\dot{\phi}\hat{\textbf{z}}+\dot{\psi}\hat{\textbf{3}}.$$ | 0.40 |
|
2 Записано выражение для угловой скорости в координатах $xyz$: $$\vec{\omega}=\dot{\psi}\sin{\theta}\hat{\textbf{x}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{y}}+(\dot{\phi}+\dot{\psi}\cos{\theta})\hat{\textbf{z}}.$$ | 0.20 |
|
3 Записано выражение для угловой скорости в координатах $123$: $$\vec{\omega}=-\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{1}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{2}}+(\dot{\phi}\cos{\theta}+\dot{\psi})\hat{\textbf{3}}.$$ | 0.20 |
|
1 Записано выражение для полной механической энергии через энергию вращательного и поступательного движения, а также потенциальной энергии: $$E=\cfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\hat{\textbf{I}}\vec{\omega}+\cfrac{1}{2}m\dot{\textbf{s}}+mgR(1-\alpha\cos{\theta})$$ | 0.20 |
|
2 Получена компонента, отвечающая за вращательное движение: $$E_{вр}=\cfrac{1}{2}I_1(\dot{\phi}^2\sin^2{\theta}+\dot{\theta}^2)+\cfrac{1}{2}I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})^2.$$ | 0.30 |
|
3 Найден вектор $\dot{\vec{s}}:$ $$\dot{\vec{s}}=(v_x+\dot{\theta}R(1-\alpha\cos{\theta}))\hat{\textbf{x}}+(v_y-R\sin{\theta}(\alpha\dot{\phi}+\dot{\psi}))\hat{\textbf{y}}+\dot{\theta}\alpha R\sin{\theta}\hat{\textbf{z}}.$$ | 0.30 |
|
4 Окончательно получено: $$E=\cfrac{1}{2}I_1(\dot{\phi}^2\sin^2{\theta}+\dot{\theta}^2)+\cfrac{1}{2}I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})^2+\cfrac{1}{2}m((v_x+\dot{\theta}R(1-\alpha\cos{\theta}))^2+(v_y-R\sin{\theta}(\alpha\dot{\phi}+\dot{\psi}))^2+(\dot{\theta}\alpha R\sin{\theta})^2)+mgR(1-\alpha\cos{\theta})$$ | 0.20 |
|
1 Момент внешних сил спроецирован на ось $z$: $$\cfrac{d\textbf{L}}{dt}\cdot\hat{\textbf{z}}=\vec{\tau_{ext}}\cdot\hat{\textbf{z}}=\alpha R\sin{\theta}F_{f,y}.$$ | 0.40 |
|
1 Показано, что $\vec{F}_f$ совершает работу. | 0.40 |
|
2 $$\cfrac{d}{dt}E_{T}=-\mu_kN|\vec{v}_A|.$$ | 1.00 |
|
0 Полный балл ставится, если отображены все характерные участки графика. |
|
|
2
|
2 × 0.25 |
|
3
|
2 × 0.25 |
|
4
|
4 × 0.25 |
|
1 Записано выражение для момента импульса $\vec{L}$: $$\vec{L}=\hat{\textbf{I}}\vec{\omega}=I_1(-\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{1}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{2}})+I_3(\dot{\psi}+\dot{\phi}\cos{\theta})\hat{\textbf{3}}.$$ | 0.20 |
|
2 Получено выражение для компонент, перпендикулярных $\hat{\textbf{3}}:$ $$\vec{L}\times\hat{\textbf{3}}=I_1(\dot{\phi}\sin{\theta}\hat{\textbf{2}}+\dot{\theta}\hat{\textbf{1}}).$$ | 0.30 |
|
1 Показано, что $$\cfrac{d\vec{L}}{dt}\cdot\vec{a}=0.$$ | 1.50 |
|
2 Получен ответ: $$\vec{v}=\vec{a}.$$ | 0.20 |
|