Pho.rs: Китайский волчок

A1 ^1.00 Найдите полную силу $\mathbf{F_{\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$.

A2 ^0.80 Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}$ относительно центра масс.

A3 ^0.40 Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0$ данным.

A4 ^0.80

Найдите полную угловую скорость $\vec{\pmb{\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера:

$\dot{\theta}=\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t$,
$\dot{\phi}=\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t$,
$\dot{\psi}=\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}t$.

Дайте ответы в двух системах координат:

в координатах $xyz$,
в координатах $123$.

A5 ^1.00 Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\dot{\mathbf{s}}=\mathrm{d}\mathbf{s}/\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов.

A6 ^0.40 Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса.

A7 ^1.40 Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5
полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями.

A8 ^2.00 Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V, показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.

A9 ^0.50 Покажите, что компоненты момента импульса $\mathbf L$ и угловой скорости $\pmb{\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\mathbf{\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.

A10 ^1.70 При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\mathbf{v}$, такой что $\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}$ постоянно во времени.

Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю.

Китайский волчок

Решение