Pho.rs: Эффект Джозефсона

A1 ^0.50 Пусть в начальный момент времени $t = 0$ ток через контакт равен нулю. В этот момент на контакт подали напряжение $V$. Определите зависимость тока от времени $I(t)$. Выразите ответ через $\Phi_0$, $V$, $I_c$, $R$.

1 Получена линейная зависимость фазы от времени $\varphi = \dfrac{2\pi}{\Phi_0} V t$	0.10
2 Начальная фаза равна нулю или подобрана таким образом, что начальный ток равен нулю	0.10
3 Учтена нормальная составляющая тока $I_n = V/R$	0.10
4 Ответ $I = \dfrac{V}{R} + I_c \sin \left( \dfrac{2\pi}{\Phi_0}V t\right)$ или $I = \dfrac{V}{R} + I_c \sin \left( \dfrac{2\pi}{\Phi_0}V t - \arcsin \frac{V}{I_c R}\right)$	0.20

A2 ^0.50 Пусть через контакт пропускается постоянный ток $I > I_c$. Запишите дифференциальное уравнение для $\varphi(t)$.

2 Ответ $I = I_c \sin \varphi + \dfrac{\Phi_0}{2 \pi R} \dot{\varphi}$

0.50

A3 ^0.70 Продифференцируйте уравнение по времени. Исключите из уравнения фазы и получите выражение для $\dot{V}(t)^2$ через $V$, $I$ и параметры системы.

1 Записано уравнение с $\ddot{\varphi}$ вида $I_c \dot{\varphi}\cos \varphi + \dfrac{\Phi_0}{2\pi R} \ddot{\varphi} =0 $ или эквивалентное	0.10
2 Получено корректное выражение для $\dot{V}$ через любые величины	0.20
3 $\cos \varphi $ выражен через величины, не содержащие производных	0.10
4 $$ \dot{V}^2 = \left( \frac{2\pi R}{\Phi_0}\right)^2 V^2\left (I_c^2 -\left(I - \frac{V}{R} \right)^2 \right) $$	0.30

A4 ^0.30 В предыдущем уравнении перейдите к переменной $u = 1/V$, выразите $\dot{u}^2$ через $u$, $I$ и параметры системы.

1 Связь производных $\dot{V} = - \dot{u}/u^2$	0.10
2 Ответ, выраженный через требуемые величины $$ \dot{u}^2 = \left( \frac{2\pi R}{\Phi_0}\right)^2 \left( I_c^2 u^2 - \left( I u- \frac{1}{R}\right)^2\right) $$	0.20

A5 ^0.80 У вас должно получиться уравнение, аналогичное закону сохранения энергий для колебаний гармонического осциллятора. Определите частоту колебаний $\omega$, значение $u_0$, относительно которого происходят колебания, и амплитуду колебаний $A$.

1 Значение частоты $\omega = \dfrac{2 \pi R}{\Phi_0} \sqrt{I^2 - I_c^2}$	0.20
2 Корректный метод определения $u_0$ (например поиск максимума правой части уравнения из A4, поиск точки, где $\ddot{u} = 0$)	0.10
3 Корректный метод определения $A$ (решение квадратного уравнения $\dot{u} = 0$, определение максимального и минимального значений $V$ из исходных уравнений и т.д.)	0.10
4 $$ u_0 = \frac{I}{R(I^2 - I_c^2)} $$	0.20
5 $$ A = \frac{I_c}{R (I^2 - I_c^2)} $$	0.20

A6 ^0.20 Запишите зависимость $V(t)$. Считайте, что при $t = 0$ значение $V(t)$ имеет минимум.

1 $$ V(t) = \frac{R(I^2 - I_c^2)}{I + I_c \cos \left( \frac{2\pi R}{\Phi_0} \sqrt{I^2 - I_c^2} t\right)} $$Верный ответ с точностью до фазы косинуса.	0.10
2 Правильна определена начальная фаза (в ответе косинус с положительным коэффициентом)	0.10

A7 ^0.60 Постройте качественные графики зависимости $V(t)$ для случаев $I = 1.1I_c$ и $I= 3 I_c$, укажите координаты характерных точек.

1 Первый график: указаны максимальное и минимальное значения $V$ ($V_{max} = 2.1 I_c R$, $V_{min} = 0.1 I_c R$), период	3 × 0.05
2 Первый график: правильная качественная форма (узкие пики, существенно различаются максимальное и минимальное значения напряжения)	0.15
3 Второй график: указаны максимальное и минимальное значения $V$ ($V_{max} = 4 I_c R$, $V_{min} = 2 I_c R$), период	3 × 0.05
4 Второй график: правильная качественная форма (с хорошей точностью синусоида)	0.15

A8 ^0.80 Найдите среднее (по времени) значение напряжения на контакте. Выразите ответ через $R$, $I$, $I_c$.

1 Среднее выражено как интеграл по времени или для усреднения использована связь $V$ с $\dot{\varphi}$	0.30
5 $$ \langle V \rangle = R \sqrt{I^2 - I_c^2} $$	0.50
6 Ошибка в численном коэффициенте	-0.20

A9 ^0.70 Определите зависимость энергии $E(\varphi)$ джозефсоновского контакта в зависимости от разности фаз $\varphi$ на нем. В ответ также могут входить $\Phi_0$ и $I_c$. Считайте, что $E(0) = 0$.

1 Энергия выражена как интеграл от мощности источника $P = IV$	0.20
2 Переход от интегрирования по времени к интегрированию по углам	0.20
3 $$ E = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} (1 - \cos \varphi) $$	0.30

A10 ^0.20 Для типичного джозефсоновского контакта значение критического тока $I_c = 0.5~мА$, сопротивление $R = 0.7 ~Ом$. Фундаментальные постоянные $e = 1.602 \times 10^{-19}~Кл$, $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}~Дж \cdot с$. Найдите численное значение энергии джозефсоновского контакта $E(\pi)$ и частоту колебаний напряжения при постоянном токе через контакт $I = 2 I_c$.

1 $E(\pi) = 3.3 \times 10^{-19}~Дж$	0.10
2 $\omega = 1.84 \times 10^{12}~с^{-1}$ или $f = 2.9 \times 10^{11}~Гц$	0.10

B1 ^0.30 Пусть в контакт втекает постоянный ток $I$ (см. рис. во введении к задаче). Запишите дифференциальное уравнение, описывающее изменение разности фаз $\varphi$. В ответ также могут входить $\Phi_0$, $R$, $C$, $I_c$.

1 Правильно учтен ток через конденсатор $I = \dot{q} = C \dot{V}$	0.10
2 $$ I = I_c \sin \varphi + \frac{\Phi_0}{2 \pi R} \dot{\varphi} + \frac{\Phi_0 C}{2\pi} \ddot{\varphi} $$	0.20

B2 ^0.60 Пусть внешний ток равен нулю, а разность фаз $\varphi \ll 1$. В этом случае $\varphi$ (а значит и другие величины, характеризующие контакт) будет совершать затухающие колебания. Определите частоту колебаний $\omega_p$.

1 Записано линеаризованное уравнение $$ \frac{\Phi_0 C}{2\pi} \ddot{\varphi}+ \frac{\Phi_0}{2 \pi R} \dot{\varphi} + I_c \varphi = 0 $$	0.20
2 $$ \omega_p = \sqrt{\frac{2\pi I_c}{\Phi_0 C} - \frac{1}{4 R^2 C^2}} $$	0.40
3 Если записано приближенное выражение без учета затухания	-0.20

B3 ^0.60 Определите добротность колебательной системы из предыдущего пункта $Q$. При каких значениях емкости в системе возможны колебания, а не затухающее движение?

1 Выражение для добротности или эквивалентная формула, которая приводится к этому виду при $Q \gg 1$ $$ Q = R \sqrt{\frac{2 \pi I_c C}{\Phi_0}} $$	0.30
2 M1 Точное условие на $C$, полученное из вещественности $\omega_p$ $$ C \ge \frac{\Phi_0}{8 \pi I_c R^2} $$	0.30
3 M2 Оценка для $C$ по порядку величины или из условия явно не выражено $C$	0.10

C1 ^1.20 Пусть критические токи через контакты равны $I_{ac}$ и $I_{bc}$ соответственно. Тогда максимальный сверхпроводящий ток $I$, который может течь через такой контакт, будет зависеть от магнитного потока через интерферометр. Определите это максимальное значение $I_0$, а также косинусы разностей фаз $\varphi_a$, $\varphi_b$, при которых этот максимум достигается. Выразите ответ через $I_{ac}$, $I_{bc}$, $\Phi$, $\Phi_0$. Ваши ответы не должны содержать обратных тригонометрических функций.

1 Записано выражение для полного тока $I = I_{ac} \sin \varphi_a + I_{bc} \sin \varphi_b$	0.10
2 Ток выражен через разность одну из разностей фаз с помощью формулы для $\varphi_a - \varphi_b$ из условия	0.20
3 Дифференцирование полного тока или преобразования с помощью формулы для синуса суммы	0.10
4 $$ I_0 = \sqrt{I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \left( 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}\right)} $$	0.30
5 Идея поиска фаз с помощью формулы для вспомогательного угла	0.10
6 $$ \cos \varphi_a = - \frac{I_{bc} \sin \left( 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}\right)}{ \sqrt{I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \left( 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}\right)}} $$$$ \cos \varphi_b = \frac{I_{ac} \sin \left( 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}\right)}{ \sqrt{I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \left( 2\pi \frac{\Phi}{\Phi_0}\right)}} $$	2 × 0.20

Эффект Джозефсона

Разбалловка