Напряжение задает производную разности фаз на контакте $$ \dot{\varphi} = \frac{2 \pi} {\Phi_0}V. $$ Поскольку до включения напряжения ток равен нулю, начальная фаза $\varphi(0) = 0$. (При включении напряжения фаза не может измениться мгновенно, поскольку быстрое изменение фазы приводит к бесконечно большому напряжению.) Тогда фаза имеет вид $$ \varphi = \frac{2 \pi} {\Phi_0}V t. $$ Тогда полный ток складывается из нормального тока $I_n = V/R$ и сверхпроводящего тока $I_s = I_c \sin \varphi$

Запишем полный ток как сумму нормального тока и сверхпроводящего, выразив напряжение через производную фазы, в результате получим

Дифференцируя уравнение, получим $$ (I_c \cos \varphi )\dot{\varphi} + \frac{\Phi_0}{2 \pi R} \ddot{\varphi} = 0. $$ Производную $\dot{\varphi}$ выразим через напряжение $$ V (I_c \cos \varphi) + \frac{\Phi_0}{2 \pi R} \dot{V} = 0, $$ а косинус фазы – через синус из исходного уравнения, $$ I_c \sin \varphi = I - \frac{V}{R}, \quad I_c^2 \cos^2 \varphi = I_c^2 - \left(I - \frac{V}{R} \right)^2, $$ Окончательно получим

Выразим производную напряжения $$ \dot{V} = - \frac{\dot{u}}{u^2}, $$ подставим в уравнение $$ \frac{\dot{u}^2}{u^4} = \left(\frac{2 \pi R}{\Phi_0} \right)^2 \frac{1}{u^2} \left(I_c^2 - \left(I - \frac{1}{R u} \right)^2\right). $$ Домножая на $u^4$, получим

Продифференцировав уравнение из предыдущего пункта, получим уравнение колебаний $$ \ddot{u} = - \left(\frac{2 \pi R}{\Phi_0} \right)^2 \left( (I^2 - I_c^2) u - \frac{I}{R} \right). $$ Из коэффициента перед $u$ находим частоту колебаний $$ \omega = \frac{2\pi R}{\Phi_0} \sqrt{I^2 - I_0^2}, $$ а также положение равновесия $$ u_0 = \frac{I}{R (I^2 - I_c^2)}. $$ Для того, чтобы найти амплитуду колебаний, определим значения $u$, при которых $\dot{u} = 0$, получим квадратное уравнение $$ (I^2 -I_c^2)u^2 - \frac{2I}{R} u + \frac{1}{R^2} = 0, $$ корни которого $$ u = \frac{1}{I^2 - I_c^2} \left( \frac{I}{R} \pm \frac{I_c}{R}\right), \quad u_1 = \frac{1}{R(I + I_c)}, \quad u_2 = \frac{1}{R(I-I_c)}. $$ Тот же результат можно найти, определив максимальное и минимальное значения напряжения из уравнения $$ I = I_c \sin \varphi + \frac{V}{R}, \quad V_{min} = R(I- I_c), \quad V_{max} = R(I + I_c). $$ Тогда амплитуда $$A = \frac{1}{2} (u_2 - u_1) = \frac{I_c}{R(I^2 - I_c^2)}.$$

Зависимость величины $u$ от времени $$ u = u_0 + A \cos \omega t, $$ где фаза определяется тем условием, что $V$ минимальна в начальный момент времени, а значит $u$ максимальна.

Выразим напряжение через производную фазы и проинтегрируем по времени $$ V =\frac{\Phi_0}{2\pi} \dot{\varphi}, \quad \int\limits_{0}^{T} V(t) dt = \frac{\Phi_0}{2\pi} (\varphi(T) - \varphi(0)). $$ Если $T$ – период колебаний, то $\varphi(T) - \varphi(0) = 2\pi$, а среднее значение напряжения равно $$ \langle V \rangle = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} V(t) dt = \frac{\Phi_0}{T} = \frac{\Phi_0}{2\pi} \omega = R\sqrt{I^2 -I_0^2}. $$ Этот же результат можно получить интегрированием явного выражения для $V(t)$ $$ \langle V \rangle = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} V(t) dt = \frac{1}{T} \int\limits_0^{T} \frac{R(I^2 - I_c^2)}{I + I_c \cos \left(\omega t \right)} dt = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \frac{R(I^2 - I_c^2)}{I + I_c \cos \theta} d\theta, $$ где $\theta = \omega t$. Этот интеграл можно вычислить с помощью подстановки $$ \xi = \tan \frac{\theta}{2} , \; \cos \theta = \frac{1-t^2}{1+ t^2}, \; d\theta = \frac{2 dt}{1+ t^2}. $$ $$ \int\limits_0^{2\pi} \frac{d\theta}{I+I_c \cos \theta} = \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{d\theta}{I+I_c \cos \theta} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{I + I_c \frac{1-t^2}{1+t^2}} = 2 \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dt}{I+ I_c + (I-I_c)t^2} = \frac{2\pi}{\sqrt{I^2 - I_c^2}}. $$ Отсюда получается тот же ответ

Мощность источника $$P = IV = I_s V = I_c \sin\varphi \dfrac{\Phi_0 }{2\pi} \dot{\varphi}.$$ Вклад нормального тока в мощность имеет вид $$ P_n = I_n V = \frac{1}{R} \left( \frac{\Phi_0}{2\pi}\right)^2 \dot{\varphi}^2. $$ При увеличении характерного времени изменения фазы $T$ эта мощность изменяется как $1/T^2$, поэтому полное выделившееся тепло ведет себя как $(1/T^2) T \sim 1/T$ и его можно сделать сколь угодно малым, увеличивая $T$. Интегрируя по времени, найдем работу, совершенную источником. $$ A = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} \int \sin \varphi \dot{\varphi} dt = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} \int\limits_{0}^{\varphi} \sin \varphi d \varphi = \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} (1 - \cos \varphi). $$ Эта работа и равна энергии джозефсоновского контакта.

$$ E(\pi) = \frac{\hbar I_c}{e} = 3.3 \times 10^{-19}~Дж, $$ $$ \omega = 2 \sqrt{3} \frac{e R I_c}{\hbar} = 1.84 \times 10^{12}~с^{-1} $$

К выражению для тока из части A2 нужно добавить ток, который идет на зарядку конденсатора, $I_C = \dot{q} = C \dot{V}$, причем производная напряжения выражается через вторую производную фазы

При малых значениях фазы уравнение имеет вид (после деления на коэффициент перед второй производной) $$ \ddot{\varphi} + \frac{1}{RC} \dot{\varphi} + \frac{2 \pi I_c }{\Phi_0 C}\varphi = 0. $$ Это уравнение имеет стандартный вид уравнения затухающих колебаний $$ \ddot{\varphi} + 2 \gamma \dot{\varphi} + \omega_0^2 \varphi = 0, $$ с коэффициентами $$ \omega_0^2 = \frac{2 \pi I_c }{\Phi_0 C}, \quad \gamma = \frac{1}{2 RC}. $$ Тогда частота $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$, Этот ответ можно получить, подставит в уравнение решение вида $\varphi = A e^{i \omega t}$, найдя соответствующие значения $\omega$ и взяв вещественную часть.

Добротность можно выразить как $$ Q = \frac{\omega_0}{2 \gamma} = R \sqrt{\frac{2 eI_c C}{\hbar}}. $$ Колебания возможны, пока значение $\omega_p$ вещественно, иначе решение уравнения на $\varphi$ будет представлять собой сумму затухающих экспонент, отсюда находим $$ C \ge \frac{\Phi_0}{8 \pi R^2 I_c}. $$

Полный ток через контакты равен $$ I = I_a + I_b = I_{ac} \sin \varphi_{a} + I_{bc} \sin \varphi_{b}. $$ Используем соотношение между фазами $\varphi_b = \varphi_a - \Delta \varphi$, где $\Delta \varphi = 2\pi \Phi/\Phi_0$, получим после преобразований $$ I = I_{ac} \sin \varphi_a + I_{bc} \sin (\varphi_a - \Delta \varphi) = (I_{ac} + I_{bc} \cos \Delta \varphi) \sin \varphi_a - I_{bc} \sin \Delta \varphi \cos \varphi_a = I_0 \sin (\varphi_a - \psi), $$ где амплитуда $$ I_0^2 = (I_{ac} + I_{bc} \cos \Delta \varphi)^2 + (I_{bc} \sin\Delta \varphi)^2 = I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \Delta \varphi, $$ а фаза определяется соотношениями $$ I_0 \cos \psi = I_{ac} + I_{bc} \cos \Delta \varphi, \quad I_0 \sin \psi = I_{bc} \sin \Delta \varphi. $$ Ток будет максимальным, если аргумент синуса равен $\pi/2$, то есть $\varphi_a = \psi + \pi/2$, откуда $$ \cos \varphi_a = - \sin \psi= - \frac{I_{bc} \sin \Delta \varphi}{\sqrt{ I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \Delta \varphi}}. $$ Косинус второй фазы можно получить, используя симметрию между контактами $a$ и $b$ (если записать выражение для $I_0$ через $\varphi_b$, выражение будет отличаться только заменой $a$ на $b$ в индексах и изменением знака $\Delta \varphi$). Иначе его можно найти прямым вычислением $$ \cos \varphi_b = \cos (\varphi_a - \Delta \varphi) = \cos \varphi_a \cos \Delta \varphi + \sin \varphi_a \sin \Delta \varphi. $$ Подставив выражения для косинуса и синуса через $\psi$, получим $$ \cos \varphi_b = - \sin \psi \cos \Delta \varphi+ \cos \psi \sin \Delta \varphi = - \frac{I_{bc} \sin \Delta \varphi}{I_0} \cos \Delta \varphi + \frac{I_{ac} + I_{bc} \cos \Delta \varphi}{I_0} \sin \Delta \varphi, $$ $$ \cos \varphi_b = \frac{I_{ac} \sin \Delta \varphi}{\sqrt{ I_{ac}^2 + I_{bc}^2 + 2 I_{ac} I_{bc} \cos \Delta \varphi}}. $$