Прежде всего, исследуем подробнее систему одинаковых батареек в центре схемы (см. рисунок).
Обозначим внутреннее сопротивление каждой батарейки $r$. По условию $r \ll R$. Напряжение $U_{34}$ между точками $1$ и $2$ можно рассчитать по двум формулам:
$$
U_{12}=2 \mathscr{E}-2 I r, \quad U_{12}=\mathscr{E}+(I-\Delta I) r,
$$
откуда: $U_{12}=\frac{4}{3} \mathscr{E}-\frac{2}{3} \Delta \operatorname{Ir}$. Это означает, что система ведет себя как одна батарейка с ЭДС $\frac{4}{3} \mathscr{E}$ и внутренним сопротивлением $\frac{2}{3} r$, которым в дальнейшем можно пренебречь.
Заменим схему на эквивалентную (см. рисунок ниже). Из соображений симметрии $I_{1}=I_{2}$.
Следовательно,
$$
\begin{gathered}
\mathscr{E}=U_{14}=I_{1} R+\left(I_{1}+\Delta I\right) R,
\\
I_{1} R=U_{13}=U_{12}+U_{23}=\left(I_{2}+\Delta I\right) R-\frac{4}{3} \mathscr{E},
\end{gathered}
$$
откуда
$$
I_{1}=-\frac{1}{6} \frac{\mathscr{E}}{R}, \quad \Delta I=\frac{4}{3} \frac{\mathscr{E}}{R} .
$$