1  ^1.00 Определите полный момент инерции $J$ катушки с проводом. Ответ выразите через $J_{0}$, $m$, $\omega_{0}$.

Полный момент инерции относительно оси вращения складывается из момента инерции самой катушки и намотанного на нее проводника
$$
J=J_{0}+mr^{2}. \ (1)
$$

2  ^1.00 Определите зависимость угловой скорости вращения катушки $\omega(t)$ от времени $t$. Ответ выразите через $J$, $M$, $\omega_{0}$.

Уравнение вращения катушки как твердого тела имеет вид
$$
J\varepsilon =J\frac{\,d\omega}{\,dt}=-M, \ (2)
$$где $\varepsilon$ — угловое ускорение катушки.
Из уравнения $(2)$ следует, что катушка остановится в момент времени
$$
t_{0}=\frac{\omega_{0}J}{M}. \ (3)
$$Отсюда находим зависимость угловой скорости вращения катушки от времени
$$
\begin{equation*}
\omega(t)=
\begin{cases}
\omega_{0}-\frac{M}{J}t, t < t_{0}=\frac{\omega_{0}J}{M} \quad (4) \\
0, \quad t \ge t_{0}
\end{cases}
\end{equation*}
$$

3  ^1.00 Определите зависимость силы тока в цепи катушки $I(t)$ от времени $t$. Ответ выразите через $J$, $M$, $r$, $l$, $R$ и $m_{e}$, $e$ — массу и заряд электрона, соответственно.

При резком торможении катушки электроны в проволоке продолжают движение по инерции, в результате чего гальванометр должен зарегистрировать ток. Обозначим через $a=\varepsilon r$ линейное ускорение точек на ободе катушки. При достаточно плотной намотке и тонких проводах можно считать, что это ускорение направлено вдоль проводов. При торможении катушки к каждому свободному электрону приложена сила инерции $-m_{e}a$, направленная противоположно ускорению. Под ее действием электрон ведет себя в металле так, как если бы на него действовало некоторое эффективное поле
$$
E_{eff}=-\frac{m_{e}a}{e}. \ (5)
$$Поэтому эффективная электродвижущая сила в катушке, обусловленная инерцией свободных электронов, равна
$$
Emf=E_{eff}l=-\frac{m_{e}}{e}al. \ (6)
$$Таким образом, закон Ома для замкнутой электрической цепи дает
$$
IR=-Emf=\frac{m_{e}al}{e}. \ (7)
$$С учетом решения п.2, получаем окончательный ответ
$$
\begin{equation*}
I(t)=
\begin{cases}
\frac{Mm_{e}rl}{eJR}, t < t_{0}=\frac{\omega_{0}J}{M} \quad (8) \\
0, \quad t \ge t_{0}
\end{cases}
\end{equation*}
$$

4  ^2.00 Гальванометр зафиксировал протекший через него электрический заряд $Q$. Выразите отношение заряда электрона к его массе $e/m_{e}$ через $\omega_{0}$, $r$, $l$, $R$, $Q$.

Количество заряда, протекшего через гальванометр, находим из $(8)$. Оно равно
$$
Q=It_{0}+\frac{m_{e}\omega_{0}rl}{eR}. \ (9)
$$Отсюда отношение заряда электрона к его массе равно
$$
\frac{e}{m_{e}}=\frac{\omega_{0}rl}{RQ}. \ (10)
$$

5  ^1.00 Найдите максимальное значение тока $I_{\max}$ в катушке. Ответ выразите через $J$, $M$, $r$, $R$, $m_{e}$, $e$. Изобразите примерный график зависимости $I(t)$.

В этом случае уравнение $(7)$ переписывается в виде
$$
L\frac{\,dI}{\,dt}+IR=-Emf=\frac{m_{e}al}{e}, \ (11)
$$где $L=\mu_{0}n^{2}\pi r^{2}h$ — индуктивность катушки.
Из $(11)$ следует, что максимальная сила тока в катушке равна
$$
I_{\max}=\frac{Mm_{e}rl}{eJR}. \ (12)
$$Качественный график зависимости представлен на рисунке ниже.

6  ^1.00 Найдите максимальную энергию $W_{0}$, запасенную в катушке. Ответ выразите через $J$, $M$, $r$, $R$, $m_{e}$, $e$, $n$, $h$ и магнитную постоянную $\mu_{0}$.

Максимальная энергия, запасенная в катушке, равна
$$
W_{0}=\frac{LI_{\max}^{2}}{2}=\frac{\mu_{0}\pi h}{2}\left(\frac{nMm_{e}r^{2}l}{eJR} \right). \ (13)
$$

7  ^3.00 Поток $S$ электромагнитной энергии через единицу площади поверхности определяется вектором Пойнтинга, который перпендикулярен электрическому и магнитному полю и равен по модулю $S=\frac{1}{\mu_{0}}EB\sin\alpha$, где $E$ — вектор напряженности электрического поля, $B$ — вектор магнитной индукции, а $\alpha$ — угол между ними (смотрите рисунок ниже).
Определите электромагнитную энергию $W$, проходящую через боковую поверхность катушки за время нарастания тока, и электромагнитную энергию $W^{'}$, проходящую через боковую поверхность за время убывания тока. Ответ выразите через $l$, $r$, $M$, $J$, $n$, $R$, $m_{e}$, $e$, $\mu_{0}$.

В установившемся режиме магнитное поле
$$
B = \mu_{0} nI \ (14)
$$в катушке остается постоянным, а электрическое поле отсутствует. Это несправедливо для начального момента времени, когда сила тока за короткий промежуток времени возрастает от нуля до максимального значения, определяемого формулой $(12)$. В соответствии с $(14)$ переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, и возникает поток электромагнитной энергии через боковую поверхность катушки. Найдем напряженность вихревого электрического поля вблизи поверхности из закона электромагнитной индукции Фарадея:
$$
Emf=E2\pi r=-\frac{\,d\Phi}{\,dt}=\frac{\,d}{\,dt}(B\pi r^{2}), \ (15)
$$откуда модуль напряженности электрического поля
$$
E=\frac{r}{2}\frac{\,dB}{\,dt}=\frac{\mu_{0}nr}{2}\frac{\,dI}{\,dt}. \ (16)
$$Направления векторов $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{S}$ показаны на рисунке ниже.

Подставляя в вектор Пойнтинга выражения $(14)$ и $(16)$ и учитывая взаимную перпендикулярность векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$, находим
$$
S=\frac{\mu_{0}n^{2}r}{2}I\frac{\,dI}{\,dt}. \ (17)
$$Таким образом, электромагнитная энергия, проходящая через боковую поверхность соленоида за время нарастания тока, дается интегралом от соотношения $(17)$ и имеет вид
$$
W=\frac{\mu_{0}n^{2}r}{4}I^{2}_{\max}2\pi r h=\frac{\mu_{0}\pi h}{2}\left(\frac{nMm_{e}r^{2}l}{eJR} \right)^{2}. \ (18)
$$Такая же энергия будет выходить через боковую поверхность катушки при убывании тока, поэтому
$$
W^{'}=\frac{\mu_{0}n^{2}r}{4}I^{2}_{\max}2\pi rh=\frac{\mu_{0}\pi h}{2}\left(\frac{nMm_{e}r^{2}l}{eJR} \right)^{2}.\ (19)
$$