1  ^0,50 Оцените наиболее вероятную энергию $E_{\gamma}$ и соответствующий импульс $p_{\gamma}$ реликтовых фотонов, учитывая, что они соответствуют излучению черного тела при температуре $T=2.7~К$.

1. 1 Формула $E_{\gamma}=kT_{r}$	0,30
1. 2 Численный ответ $2.3\cdot10^{-4}~эВ/(c)$	0,20

2  ^1,00 Масса покоя частицы $m$ связана с полной релятивистской энергией $E$ и импульсом $\vec{p}$ этой частицы в произвольной инерциальной системе отсчета соотношением $E^{2}/c^{2}-\vec{p}^{2}=m^{2}c^{2}$. Здесь величина $mc^{2}$ не зависит от системы отсчета и является полной внутренней энергией частицы. Выразить полную внутреннюю энергию двух невзаимодействующих частиц с массами покоя $m_{1}$, $m_{2}$ (т.е. полную энергию в системе отсчета, в которой полный импульс физической системы равен нулю) через энергии $E_{1}$, $E_{2}$ и импульсы $\vec{p}_{1}$, $\vec{p}_{2}$ этих частиц в произвольной системе отсчета.

2. 1 Получено $\left(\frac{E_{1}}{c}+\frac{E_{2}}{c} \right)^{2}-(p_{1}+p_{2})^{2}=M^{2}c^{2}$	0,70
2. 2 Обоснование Лоренц-инвариантности ответа	0,30

3  ^5,00 Определите, при какой наименьшей энергии протона возможна реакция $(2)$:
$a)$ в системе центра масс протона и фотона $p+\gamma$ (то есть в системе отсчета, в которой суммарный импульс протона и фотона равен нулю);
$b)$ в системе Галактики.

3. 1 Обоснованное утверждение «пороговая энергия минимальна при антипараллельных импульсах»	0,50
1)
3. 3 Получено $q_{\gamma}c=\frac{(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2})^{2}}{2M_{\Delta}c^{2}}$	1,50
3. 4 Численный ответ $q_\gamma\approx 259~МэВ/c$	0,20
2)
3. 6 Для лобового столкновения частиц $p_\gamma=\frac{1-V_{0}/c}{\sqrt{1-(V_{0}/c)^{2}}}|q_{\gamma}|c$	0,30
3. 7 В приближении $1-V_0/c\ll1$ найдено $V_0/c=\frac{1-k^2}{1+k^2},k=p_\gamma/q_\gamma$	1,20
3. 8 В том же приближении найден Лоренц-фактор $\gamma\approx1/2k$	0,30
3. 9 Ответ $E_{\max}=\frac{M_\Delta^2-m_p^2}{4p_\gamma}c^3$	0,80
3. 10 Число $7\cdot10^{20}~эВ$	0,20

4  ^1,00 Предполагая, что в системе Галактики протон имеет максимальную энергию $E_{p}^{\max}$ и сталкивается с летящим ему навстречу реликтовым фотоном, определите импульс $\pi^{0}$-мезона в реакции $(2)$ в этой же системе отсчета для случая, когда вылетающие частицы движутся по или против направления начального импульса протона. Насколько при этом изменяется импульс протона?

4. 1 Получен импульс мезона $q_{\pi}=\frac{\sqrt{[(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2}-m_{\pi}c^{2})^{2}][(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2}+m_{\pi}c^{2})^{2}]}}{2M_{\Delta}c^3}$	0,40
4. 2 Число $q_\pi=227\times 10^{6}~МэВ/c$	0,10
4. 3 Получен импульс протона в сопутствующей с.о. $p'_{pz}=\frac{1}{2k}\left[-q_{\pi}+\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+q_{\pi}^{2}}\right]$	0,30
4. 4 Сделаны верные оценки при верном соотношении	2 × 0,10

5  ^1,50 Какова величина импульса вылетающего фотона в комптоновском рассеянии $(1)$ при тех же условиях, что и в пункте $4$?

5. 1 Записаны законы сохранения 4-импульса	0,50
5. 2 Получен ответ $p_{\gamma z}=\frac{1}{2k}q_{\gamma}$	0,60
5. 3 Сделаны верные оценки при верном соотношении	2 × 0,20

6  ^1,00 Возможна ли реакция $(2)$ с реликтовым излучением, если в системе Галактики начальные импульсы протона и фотона направлены в одну сторону? Если реакция возможна, то какова при этом должна быть минимальная величина начального импульса фотона в системе Галактики?

6. 1 Ответ $E_{\gamma}=\frac{(M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2})c^{4}}{2m_{p}c^{2}}$.	0,80
6. 2 Число $E_{\gamma}=185~МэВ$.	0,20