1  ^0.50 Оцените наиболее вероятную энергию $E_{\gamma}$ и соответствующий импульс $p_{\gamma}$ реликтовых фотонов, учитывая, что они соответствуют излучению черного тела при температуре $T=2.7~К$.

Наиболее вероятная энергия фотона в спектре абсолютно черного тела при температуре $T$ равна $E_{\gamma}=hv=kT$, а соответствующий ей импульс есть $p_{\gamma}=E_{\gamma}/c$. Численно находим $$ E_{\gamma}=kT_{r}=2.3 \times 10^{-4}~эВ, \ (4) \\ p_{\gamma}=2.3 \times 10^{-4}~эВ/c. $$

2  ^1.00 Масса покоя частицы $m$ связана с полной релятивистской энергией $E$ и импульсом $\vec{p}$ этой частицы в произвольной инерциальной системе отсчета соотношением $E^{2}/c^{2}-\vec{p}^{2}=m^{2}c^{2}$. Здесь величина $mc^{2}$ не зависит от системы отсчета и является полной внутренней энергией частицы. Выразить полную внутреннюю энергию двух невзаимодействующих частиц с массами покоя $m_{1}$, $m_{2}$ (т.е. полную энергию в системе отсчета, в которой полный импульс физической системы равен нулю) через энергии $E_{1}$, $E_{2}$ и импульсы $\vec{p}_{1}$, $\vec{p}_{2}$ этих частиц в произвольной системе отсчета.

Полная внутренняя энергия системы двух невзаимодействующих частиц $Mc^{2}$ определяется суммой полных энергий этих частиц в системе общего центра масс $Mc=\sqrt{m_{1}^{2}c^{2}+q^{2}}+\sqrt{m_{2}^{2}c^{2}+q^{2}}$, где $q$-импульс частиц в системе центра масс. Для заданной $M$ справедливо следующее соотношение в любой системе отсчета $S$ $$ \left(\frac{E_{1}}{c}+\frac{E_{2}}{c} \right)^{2}-(p_{1}+p_{2})^{2}=M^{2}c^{2}, \ (5) $$ где $E_{1}$, $E_{2}$ — полные энергии, а $p_{1}$, $p_{2}$ — импульсы этих частиц, заданные в той же системе отсчета.

3  ^5.00 Определите, при какой наименьшей энергии протона возможна реакция $(2)$: $a)$ в системе центра масс протона и фотона $p+\gamma$ (то есть в системе отсчета, в которой суммарный импульс протона и фотона равен нулю); $b)$ в системе Галактики.

Пусть $E_{0}$ есть минимальная (пороговая) энергия протона, при которой во взаимодействии протона с реликтовым фотоном рождается $\Delta$-частица. При $E$ большей или равной энергии $E_{0}$ реакция $(2)$ идет с большой вероятностью, при этом протон теряет энергию на рождение пи–мезона. Этот процесс многократно повторяют вторичные протоны из реакции $(2)$ до тех пор, пока их энергия не станет меньше $E_{0}$. При $E < E_{0}$ потери энергии за счет этого основного канала взаимодействия отсутствуют. Поскольку не существует более легких возбужденных состояний, чем $\Delta$–частица, то энергия $E_{0}$ должна быть максимальной энергией протонов КЛ. Направим ось $OZ$ вдоль направления импульса $p_{p}$. В силу изотропности реликтового излучения потоки реликтовых фотонов равновероятны вдоль направлений $\pm OZ$, $\pm OX$, $\pm OY$. Легко видеть, что при заданном модуле импульса $|p_{\gamma}|$, пороговая энергия реакции $(2)$ минимальна для «лобового» столкновения, при котором фотон движется навстречу протону. Действительно, полная внутренняя энергия сталкивающихся частиц при минимальной начальной энергии (на пороге реакции) равна $M_{\Delta}c^{2}$. С другой стороны, из $(5)$ имеем $$ M_{\Delta}^{2}c^{4}=(E_{p}+E_{\gamma})^{2}-(p_{p}+p_{\gamma})^{2}c^{2}. \ (6) $$ Из этого выражения следует, что при заданной энергии фотона $E_{\gamma}$ величина энергии протона $E_{p}$ минимальна, если импульсы $p_{p}$ и $p_{\gamma}$ противоположно направлены.

$3a$. В системе центра масс протона и реликтового фотона (ц.м. $p+\gamma$) имеем $q_{p}=-q_{\gamma}$, где $q_{p}$ — импульс протона КЛ, $q_{\gamma}$ — импульс фотона $\Delta$(1232)-частица покоится в системе ц.м. $p+\gamma$. Поэтому реакция $(2)$ имеет место при условии $$ M^{2}_{\Delta}c^{2}=\sqrt{m_{p}^{2}c^{4}+q_{\gamma}^{2}c^{2}}+q_{\gamma}c, \ (7) $$ где $M_{\Delta}$ — масса покоя $\Delta(1232)$-частицы, $m_{p}$ — масса покоя протона. Отсюда находим $$ [M_{\Delta}c^{2}-q_{\gamma}c]^{2}=m_{p}^{2}c^{4}+q_{\gamma}^{2}c^{2} $$ или $$ q_{\gamma}c=\frac{(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2})^{2}}{2M_{\Delta}c^{2}} \approx 259 \times 10^{6}~эВ. \ (8)\\E_p=\frac{M_\Delta^2+m_p^2}{2M_\Delta}c^2=973~МэВ $$

$3b$. Вариант 1.

Связь между импульсами реликтового фотона в с.ц.м. $p+\gamma$ $q_{\gamma}$ из $(8)$ и в системе Галактики $p_{\gamma}$ дается преобразованием Лоренца: $$ p_{\gamma z}=G\left(q_{\gamma z}+\frac{\frac{V_{0z}}{c}E_{\gamma}^{cm}}{c} \right). \ (9) $$ Для случая «лобового» столкновения имеем $$ p_{\gamma}c=\frac{1}{\sqrt{1-(V_{0}/c)^{2}}}\left[|q_{\gamma}|c-\frac{V_{0}}{c}E_{\gamma}^{cm} \right]=\frac{1-V_{0}/c}{\sqrt{1-(V_{0}/c)^{2}}}|q_{\gamma}|c, \ (10) $$ Здесь $E_{\gamma}^{cm}$ энергия фотона в системе ц.м. $p+\gamma$: $E_{\gamma}^{cm}=|q_{\gamma}|c$. Исходя из выражения $(10)$, введем отношение $$ k=\frac{p_{\gamma}}{q_{\gamma}}=\frac{1-V_{0}/c}{\sqrt{1-(V_{0}/c)^{2}}}. \ (11) $$ Численно находим $$ k=\frac{E_{\gamma}}{q_{\gamma}}=\frac{kT_{r}}{q_{\gamma}c}=\frac{2.3 10^{-4}}{257 \times 10^{6}}=8.9 10^{-13} \ll 1. \ (12) $$ Вследствие малости величины $k$, отношение $V_{0}/c$ также близко к единице, поэтому его можно искать в виде $$ \frac{V_{0}}{c}=1-\varepsilon, \ (13) $$ где $\varepsilon \ll 1$. Аналогичное преобразование импульса протона из системы ц.м. $p+\gamma$ $(q_{p})$ в систему Галактики $(p_{p})$ для случая «лобового» столкновения $(p_{pz}=p_{p}, q_{pz}=q_{p})$ имеет вид $$ p_{p}c=G\left(|q_{p}|c+\frac{V_{0}}{c}E_{p}^{cm} \right)=G\left[|q_{p}|+(1+\varepsilon) \sqrt{m_{p}c^{2}+q_{\gamma}^{2}} \right]c=\\=G\left(M_{\Delta}c^{2}-\varepsilon \sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+|q_{\gamma}|^{2}}c\right)\approx GM_{\Delta}c^{2}. $$ Здесь учтено, что $\varepsilon \sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+|q_{\gamma}|^{2}}c \ll M_{\Delta}c^{2}$. Осталось найти $G$-фактор преобразования Лоренца. Из выражения $(13)$ получаем $$ k^{2}=\frac{\left(1-\left(\frac{V_{0}}{c}\right)\right)^{2}}{1-(V_{0}/c)^{2}}=\frac{\varepsilon^{2}}{1-(1-\varepsilon)^{2}}=\frac{\varepsilon}{2-\varepsilon}. \ (15) $$ Отсюда находим $$ \varepsilon=\frac{2k^{2}}{1+k^{2}} \ll 1. \ (16) $$ Тогда для искомого $G$–фактора имеем $$ G=\frac{1}{\sqrt{1-(V_{0}/c)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(1-\varepsilon)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}\sqrt{2-\varepsilon}}=\frac{\sqrt{1+k^{2}}}{\sqrt{2k^{2}}\sqrt{2-\frac{2k^{2}}{1+k^{2}}}}=\frac{1+k^{2}}{2k} \approx \frac{1}{2k}. \ (17) $$ Здесь использовано условие $k^{2} \ll 1$. Окончательно пороговый импульс протона для "лобового'' столкновения из $(14)-(17)$ и $(8)$ $$ p_{p}c=\frac{1}{2k}M_{\Delta}c^{2}=\frac{q_{\gamma}}{2p_{\gamma}}M_{\Delta}c^{2}=\frac{(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2})^{2}}{2M_{\Delta}c^{2}}\frac{M_{\Delta}c^{2}}{2p_{\gamma}}=\frac{(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2})^{2}}{4p_{\gamma}}= \\ =\frac{1232^{2}-938^{2}}{42.3 \cdot 10^{-4}}\times 10^{12}~эВ=7\times 10^{20}~эВ. \ (19) $$ Таким образом, максимальная энергия КЛ есть $$ E^{\max}=E_{0}=\sqrt{m_{p}^{2}c^{4}+p_{p}c^{2}}\approx p_{p}c=7\times 10^{20}~эВ. $$ Экспериментальные данные показывают, что протоны более высоких энергий, чем $10^{21}~эВ$, практически отсутствуют в КЛ.

Вариант 2. Можно найти скорость центра масс $x=\frac{V_{0}}{c}$ из уравнения $(11)$ переписав его в виде $$k^{2}(1-x^{2})=(1-x)^{2}. \ (20)$$

Это уравнение имеет два корня: нефизический корень $x=1$ и физический корень $$x=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}. \ (21)$$

Последнее выражение совпадает с $(13)$, $(16)$.

Вариант 3. Можно найти пороговую энергию, не используя преобразования Лоренца, но учитывая, что полная внутренняя энергия (масса покоя) любой физической системы $M$ не зависит от системы отсчета. Рассматривая соотношение $(6)$ в системе Галактики, находим на пороге реакции $(2)$ для антипараллельных начальных импульсов $(p_{p} \downarrow \uparrow p_{\gamma})$

$$M_{\Delta}^{2}c^{4}=m_{p}^{2}c^{4}+2p_{\gamma}c(\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+p_{p}^{2}}+p_{p}c). \ (22) $$

Из этого уравнения находим $p_{p}$ $$p_{p}=\frac{(M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2}-2p_{\gamma}m_{p})(M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2}+2p_{\gamma}m_{p})}{4p_{\gamma}(M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2})}c^{2}. \ (23)$$

Поскольку для реликтового излучения имеет место соотношение $2p_{\gamma}m_{p} \ll (M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2})c$, то выражение $(23)$ сводится к выражению $(18)$. 

4  ^1.00 Предполагая, что в системе Галактики протон имеет максимальную энергию $E_{p}^{\max}$ и сталкивается с летящим ему навстречу реликтовым фотоном, определите импульс $\pi^{0}$-мезона в реакции $(2)$ в этой же системе отсчета для случая, когда вылетающие частицы движутся по или против направления начального импульса протона. Насколько при этом изменяется импульс протона?

Для конечной системы $\pi+p$ в системе центра масс реакции имеем $$ M_{\Delta}c^{2}=\sqrt{m_{p}^{2}c^{4}+q_{\pi}^{2}c^{2}}+\sqrt{m_{\pi}^{2}c^{4}+q_{\pi}^{2}c^{2}}, \ (24) $$ где $m_{\pi}$ — масса покоя пи-мезона. Дважды возводя в квадрат полученное равенство, находим $$ (q_{\pi}c)^{2}=\frac{[(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2}-m_{\pi}c^{2})^{2}][(M_{\Delta}c^{2})^{2}-(m_{p}c^{2}+m_{\pi}c^{2})^{2}]}{4M_{\Delta}^{2}c^{4}}, \ (25) \\ q_{\pi}\approx 227\times 10^{6}~МэВ/c. \ (26) $$ Оценим потерю импульса протоном в реакции $(2)$ в системе Галактики, учитывая что в системе центра масс реакции возможны две следующие конфигурации. $A)$ Пи-мезон вылетает вдоль положительного направления оси $OZ$, а протон движется в противоположном направлении $OZ$. При этом импульс конечного протона в сопутствующей системе находим по преобразованию Лоренца: $$ p_{pz}^{'}=G\left(-q_{\pi}+\frac{V_{0}}{c}\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+q_{\pi}^{2}}\right)=\left|\frac{V_{0}}{c}=1-\varepsilon\right|=G\left(-q_{\pi}+\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+q_{\pi}^{2}}-\varepsilon\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+q_{\pi}^{2}} \right)\approx \\ \approx \frac{1}{2k}(-q_{\pi}+\sqrt{m_{p}^{2}c^{2}+q_{\pi}^{2}}). \ (27)\\p_{\pi}=\frac1{2k}\left[\pm q_\pi+\sqrt{m_{\pi}^2+q_\pi^2}\right]=2.77\cdot10^{20}~эВ/c,2.23\cdot10^{19}~эВ/c\\p_{p}=\frac1{2k}\left[\pm q_\pi+\sqrt{m_p^2+q_\pi^2}\right]=6.70\cdot10^{20}~эВ/c,4.15\cdot10^{20}~эВ/c $$ Здесь использовано $(17)$ для множителя $G$. Очевидно, что конечный импульс $p_{p}^{'}$ может быть существенно меньше начального импульса $p_{p}$. Принимая начальное значение импульса протона равным максимальному для КЛ, $p_{p}=10^{21}~эВ/c$, имеем $q_{\pi}=225\times 10^{6}~эВ/c$ из $(26)$, из $(12)$, и численно находим из $(27)$: $p_{p}^{'}=4\times 10^{17}~эВ/c$. $B)$ Пи-мезон вылетает против положительного направления оси $OZ$, а протон движется в положительном направлении $OZ$. В этом случае в выражении $(27)$ для импульса конечного протона надо изменить знак перед $q_{\pi}$ на противоположный. При этом для максимального начального импульса протона $p_{p}=7\times 10^{20}~эВ/c$ конечный импульс равен $p_{p}^{'}\approx 6\times 10^{20}~эВ/c$.

5  ^1.50 Какова величина импульса вылетающего фотона в комптоновском рассеянии $(1)$ при тех же условиях, что и в пункте $4$?

Определим потери импульса в комптоновском рассеянии.
Вариант 1. При заданных условиях задачи конечный фотон и конечный протон в 
комптоновском рассеянии $p+\gamma \rightarrow p+\gamma$ вылетают вперед в положительном направлении оси $OZ$.

$A)$ Сохранение энергии и импульса в системе Галактики в этом случае дает: $$R_{0}=E_{p}+E_{\gamma}=E_{p}^{'}+E_{\gamma}^{'}, \ (28) \\ R=p_{p}-p_{\gamma}=p_{p}^{'}+p_{\gamma}^{'}. $$

Решая систему уравнении $(28)$ относительно $p_{p}^{'}$, находим $$p_{p}^{'}c=\frac{m_{p}^{2}c^{4}-(R_{0}-R_{C})^{2}}{2(R_{0}-R_{C})}.\ (29)$$

Зная $p_{p}^{'}$, из $(28)$ легко найти $p_{\gamma}^{'}$.
$B)$ При вылете конечного фотона назад в системе Галактики имеем $$E_{p}+E_{\gamma}=E_{p}^{'}+E_{\gamma}^{'}, \\ p_{p}-p_{\gamma}=p_{p}^{'}+p_{\gamma}^{'}. \ (30)$$

Отсюда находим, что $\Delta p_{p}=p_{p}-p_{p}^{'}=-\frac{\Delta E_{p}}{c}=\frac{E_{p}-E_{p}^{'}}{c}$, то есть изменение энергии $(E/c)$ равно по абсолютной величине, но противоположно по знаку изменению импульса. Это возможно только при $\Delta p_{p}=-\Delta E_{p}=0$, что соответствует столкновению без изменения энергии и 
импульса.

Вариант 2. В системе центра масс реакции вылетающий фотон движется вдоль оси $OZ$, а конечный протон — против $OZ$. Применяя преобразование Лоренца для этой конфигурации, находим для импульса конечного фотона в системе Галактики $$p_{\gamma z}=G\left(q_{\gamma z}+\frac{\frac{V_{0z}}{c}E_{\gamma}^{cm}}{c}\right)=G\left(q_{\gamma}+\frac{\frac{V_{0z}}{c}E_{\gamma}^{cm}}{c} \right)=\\=Gq_{\gamma}\left(1+\frac{V_{0}}{c}\right)=\frac{1+k^{2}}{2k}\left(1+\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}\right)q_{\gamma}=\frac{1}{2k}q_{\gamma}. \ (31)$$

При максимальном импульсе протона КЛ $p_{p}=10^{21}~эВ/c$ имеем $q_{\gamma}=257~МэВ/c$ из $(8)$, $k=9\cdot 10^{-13}$ из $(12)$ и численно находим из $(31)$: $p_{\gamma}^{'}\approx 1.5\cdot 10^{20}~Эв/c$. Импульс конечного протона при этом равен $p_{p}^{'}=p_{p}-p_{\gamma}-p_{\gamma}^{'}\approx 5.5\cdot 10^{20}~эВ/c$. Таким образом, импульс вылетающего фотона сравним по порядку величины с импульсом налетающего протона.

$B)$ Если конечный фотон вылетает назад в системе Галактики, то и в системе центра масс он летит в отрицательном направлении оси $OZ$. В этом случае в формуле $(9)$ надо поменять знак перед $(q_{\gamma})_{z}$. Получаемое выражение для $p_{\gamma}^{'}$ совпадает по модулю с начальным импульсом фотона $p_{\gamma}$ в $(9)$, то есть процесс идет без изменения импульса фотона и протона.

6  ^1.00 Возможна ли реакция $(2)$ с реликтовым излучением, если в системе Галактики начальные импульсы протона и фотона направлены в одну сторону? Если реакция возможна, то какова при этом должна быть минимальная величина начального импульса фотона в системе Галактики?

При параллельных одинаково направленных начальных импульсах $p_{p}\upuparrows p_{\gamma}$ реакция возможна только если фотон идет вслед за протоном и, следовательно, догоняет протон (в то время как, так как протон, идущий вслед за фотоном, догнать фотон не может). «Догоняющий» фотон должен иметь достаточно высокую энергию, чтобы возбудить $\Delta$-изобару. При $p_{p}\upuparrows p_{\gamma}$ энергия фотона минимальна, если протон покоится, и находится из условия $$ M_{\Delta}^{2}c^{4}=(m_{p}c^{2}+E_{\gamma})^{2}-(p_{\gamma})^{2}c^{2}=m_{p}^{2}c^{4}+2E_{\gamma}m_{p}c^{2}, \ (32) $$ что дает $$ E_{\gamma}=\frac{(M_{\Delta}^{2}-m_{p}^{2})c^{4}}{2m_{p}c^{2}}=185~МэВ. \ (33) $$ Это значительно больше энергии реликтовых фотонов.