1  ^?? Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным.
Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе?

Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: $$\delta{Q}=dU+\delta{A}=dU+pdV=dU+d(pV)-Vdp{.}
$$
Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$U=\nu C_VT\qquad pV=\nu RT{.}
$$
Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе:
$$d(pV)=\nu RdT{.}
$$
Тогда получим:
$$\delta{Q}=\nu C_VdT+\nu RdT-Vdp=\nu C_pdT-Vdp{,}
$$
где $C_p=C_V+R=4R$ — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении.
Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры $(p{,}T)$, имеем:
$$C=\cfrac{\delta{Q}}{dT}=\nu C_p-V\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu C_p-\cfrac{\nu RT}{p}\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu\left(C_p-R\cdot\cfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right){.}
$$
Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:

2  ^?? Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$.

При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: 

1. Если относительное изменение давления водяного пара под поршнем меньше относительного изменения насыщенного пара при том же относительном изменении температуры, т.е если $\varepsilon_p<\varepsilon_{p(\text{н.п})}=\alpha\varepsilon_T$ – вещество в сосуде целиком остаётся в газообразном состоянии, а пар перестаёт быть насыщенным.
2. Если описанное условие соотношения относительных изменений давлений при одинаковом относительном изменении температуры не выполняется – пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться.

Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим:

$$pV=\nu RT\Rightarrow pdV+Vdp=\nu RdT=\cfrac{pVdT}{T}\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_T} {.}$$ 

Запишем первое начало термодинамики: 

$$dU=-\delta{A}\Rightarrow \nu C_VdT=-pdV=-\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow{\varepsilon_T=-\cfrac{R\varepsilon_V}{C_V}} {.}$$ 

Обратим внимание, что $\varepsilon_T>0$, поскольку $\varepsilon_V<0$. 

Далее находим: 

$$\varepsilon_p=\varepsilon_T-\varepsilon_V=\varepsilon_T\left(1+\cfrac{C_V}{R}\right)=\cfrac{C_p\varepsilon_T}{R}=4\varepsilon_T<\alpha\varepsilon_T {.}$$ 

Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. 

Тогда полученное нами выражение для $\varepsilon_T$ является применимым и температура увеличивается на величину, равную:

3  ^?? Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$.

Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно.

Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:
$$pV=\nu RT\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu+\varepsilon_T}\Rightarrow{\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu}{,}
$$
поскольку в рассматриваемом процессе $\varepsilon_p=\alpha\varepsilon_T$.
Из первого начала термодинамики:
$$\delta{Q}_\text{нас}+L dm=0{,}
$$
где $Q_\text{нас}$ - количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а $dm=\mu d\nu$ - изменение массы водяного пара.
Поскольку состояние не конденсирующегося водяного пара в координатах $(p{,}T)$ описывается кривой фазового равновесия — его теплоёмкость равна теплоёмкости $\nu C_\text{нас}$, полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты $\delta{Q}_\text{нас}$ имеем:
$$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_\text{нас}dT{.}
$$

Примечание: Отметим, что формула

$$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_VdT+pdV{,}
$$

где $dV$ – изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина $dV$ не равна изменению объёма, занимаемого не конденсирующимся водяным паром.

Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:
$$\nu C_\text{нас}dT+\lambda\mu d\nu=0\Rightarrow{=\varepsilon_\nu=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }}{.}
$$
Отсюда:
$$\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }{.}
$$
Окончательно находим: