|
1
Указано, что модуль силы трения скольжения равен: $$F_\text{тр}=mg\sin\alpha $$ |
0.20 |
|
|
2
Указано, что проекция силы тяжести на плоскость равна $$F_\text{т}=mg\sin\alpha $$ |
0.20 |
|
|
3
Получено выражение для ускорения шайбы в зависимости от угла $\varphi$: $$a=2g\sin\alpha\cos(\varphi/2) $$ |
0.50 |
|
|
4
Определено ускорение шайбы $a_0$: $$a_0=2g\sin\alpha\cos(\varphi_0/2)\approx 8{.}49~\text{м}/\text{с}^2 $$ |
0.30 |
|
|
5
Определено ускорение шайбы $a_1$: $$a_1=2g\sin\alpha\cos(\varphi_1/2)\approx 1{.}76~\text{м}/\text{с}^2 $$ |
0.30 |
|
| 1 M1 Из решения следует, что проекции ускорения шайбы $a_\tau$ и $a_y$ равны друг другу или что ускорение направлено под углом $\varphi/2$ со скоростью | 0.60 |
|
| 2 M1 Показано, что величина $v-v_y$ сохраняется при движении шайбы. | 2.00 |
|
|
3
M1
Определена величина $v-v_y$: $$v-v_y=v_0(1-\cos\varphi_0) $$ |
0.40 |
|
|
4
M1
Получена зависимость скорости шайбы $v$ от угла $\varphi$: $$v(\varphi)=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{1-\cos\varphi} $$ |
0.50 |
|
|
5
M2
Получены выражения для проекций ускорения на две оси, например тангенциальное и нормальное ускорения или $a_x$ и $a_y$: $$a_\tau=-g\sin\alpha(1+\cos\varphi)\qquad a_n=g\sin\alpha\sin\varphi $$ |
2 × 0.30 |
|
|
6
M2
Записаны выражения для тангенциального и нормального ускорений шайбы, связывающие со временем скорость $v$ и угол $\varphi$: $$a_\tau=\dot{v}\qquad a_n=v\dot{\varphi} $$ |
2 × 0.20 |
|
|
7
M2
Получено уравнение с разделяющимися переменными, связывающее $v$ и $\varphi$: $$\cfrac{dv}{v}=-\cfrac{d\varphi}{\tan(\varphi/2)}$$ |
0.50 |
|
|
8
M2
Правильно проинтегрирована левая и правая части уравнения с разделяющимися переменными: $$\int\limits_{v_0}^v\cfrac{dv}{v}=\ln\left(\cfrac{v}{v_0}\right)\qquad \int\limits_{\varphi_0}^{\varphi}\cfrac{d\varphi}{\tan(\varphi/2)}=2\ln\left(\cfrac{\sin(\varphi/2)}{\sin(\varphi_0/2)}\right) $$ |
2 × 0.50 |
|
|
9
M2
Получена зависимость скорости шайбы $v$ от угла $\varphi$: $$v(\varphi)=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{1-\cos\varphi} $$ |
1.00 |
|
|
10
Определена скорость шайбы $u$: $$u=v_0(1-\cos\varphi_0)\approx 4{.}00~\text{м}/\text{с} $$ |
0.50 |
|
|
11
Определена скорость шайбы $v_1$: $$v_1=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{1-\cos\varphi_1}\approx 2{.}07~\text{м}/\text{с} $$ |
0.50 |
|
|
1
M3
Из инварианта, полученного при решении второго пункта, получена связь пути $S$ шайбы и перемещения $\Delta{y}$ в направлении оси $y$ с прошедшим временем $\Delta{t}$: $$S-\Delta{y}=v_0(1-\cos\varphi_0)\Delta{t} $$ |
1.00 |
|
|
2
M3
Получена связь пути $S$, пройденного шайбой к моменту повторного достижения основания доски, с временем $t$: $$S=v_0(1-\cos\varphi_0)t $$Если данный пункт оценен – пункт про связь $S$, $\Delta{y}$ и $\Delta{t}$ оценивается автоматически. |
1.00 |
|
|
3
M3
Из теоремы об изменении кинетической энергии шайбы получена связь пути $S$ шайбы и перемещения $\Delta{y}$ в направлении оси $y$ со скоростью $v$ шайбы: $$\cfrac{v^2}{2}-\cfrac{v^2_0}{2}=-g\sin\alpha(S+\Delta{y}) $$ |
1.00 |
|
|
4
M3
Получена связь пути $S$, пройденного шайбой к моменту повторного достижения основания доски, со скоростями $v_0$ и $v_1$: $$v^2_0-v^2_1=2g\sin\alpha S $$Если данный пункт оценен – пункт про связь $S$, $\Delta{y}$ и $v$ оценивается автоматически. |
1.00 |
|
|
5
M3
Определено время $t$ движения шайбы: $$t=\cfrac{v_0}{2g\sin\alpha(1-\cos\varphi_0)}\left(1-\left(\cfrac{1-\cos\varphi_0}{1-\cos\varphi_1}\right)^2\right) $$ |
1.50 |
|
|
6
M3
Определено численное значение времени $$ t \approx 1.52~с $$ |
0.50 |
|
|
7
M4
Время $dt$ выражено через зависимость $v(\varphi)$: $$dt=\cfrac{v(\varphi)d\varphi}{g\sin\alpha\sin\varphi} $$ |
1.00 |
|
|
8
M4
Получено выражение для элемента времени движения шайбы $dt$, выраженное как дифференциал функции одной переменной $\varphi$: $$dt=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{g\sin\alpha}\cdot\cfrac{d\varphi}{4\sin^3(\varphi/2)\cos(\varphi/2)} $$ Примечание: если интегрирование данного выражения производится на калькуляторе – дальнейшие баллы можно получить только за правильное численное значение времени движения шайбы $t$. |
1.50 |
|
| 9 M4 Используется основная тригонометрическая подстановка $z=\tan(\varphi/2)$. | 0.50 |
|
|
10
M4
Выражение для $dt$ приведено к виду: $$dt=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{2g\sin\alpha}\cdot\cfrac{1+z^2}{z^3}dz $$ |
1.00 |
|
|
11
M4
Время движения шайбы $t$ выражено как функция переменной $z$: $$t=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{2g\sin\alpha}\left(\cfrac{1}{2z^2_0}-\cfrac{1}{2z^2_1}+\ln\left(\cfrac{z_1}{z_0}\right)\right) $$ |
0.50 |
|
|
12
M4
Время движения шайбы $t$ выражено как функция переменной $\varphi$: $$t=\cfrac{v_0(1-\cos\varphi_0)}{2g\sin\alpha}\left(\cfrac{1}{1-\cos\varphi_0}-\cfrac{1}{1-\cos\varphi_1}+\ln\left(\cfrac{\tan(\varphi_1/2)}{\tan(\varphi_1/2)}\right)\right) $$ |
1.00 |
|
|
13
M4
Определено численное значение времени $$ t \approx 1.52~с $$ |
0.50 |
|