A1  ^1.00 Запишите систему законов сохранения массы и импульса для объема газа, переходящего через волновой фронт ударной волны. Определите из неё скорость перемещения волнового фронта $c$.

A1. 1 Закон сохранения массы	0.30
A1. 2 Закон сохранения импульса	0.30
A1. 4 $$ c = \sqrt{\frac{p_1 - p_0}{\rho_1 - \rho_0} \frac{\rho_1}{\rho_0}} $$	0.40

A2  ^1.00 Запишите закон сохранения энергии для элемента объема газа, переходящего через волновой фронт. Получите из него дополнительное уравнение, связывающее параметры $p_0$, $\rho_0$, $p_1$, $\rho_1$, скорость перемещения волнового фронта $c$ и показатель адиабаты $\gamma$.

A2. 2 M1 Записано уравнение Бернулли $\frac{p_0}{\rho_0} + \frac{C_V}{R} \frac{p_0}{\rho_0} + \frac{v^2}{2} = const$	0.50
A2. 3 M2 Записана работа сил давления $p_0 dV_0 - p_1 dV_1$	0.20
A2. 4 M2 Изменение кинетической энергии $\left( \frac{u^2}{2} -\frac{c^2}{2}\right) dm$	0.10
A2. 5 M2 Изменение внутренней энергии $C_V \frac{dm}{\mu} (T_1 - T_0 )$	0.20
A2. 6 С помощью закона сохранения массы исключена скорость движения газа	0.10
A2. 7 Теплоемкость выражена через показатель адиабаты	0.10
A2. 8 Температура выражена через давление	0.10
A2. 9 $$ \frac{\gamma}{\gamma - 1} \frac{p_0}{\rho_0} + \frac{c^2}{2} = \frac{\gamma}{\gamma - 1} \frac{p_1}{\rho_1} + \frac{\rho_0^2}{\rho_1^2}\frac{c^2}{2} $$	0.20

A3  ^0.50 Комбинируя результаты, полученные в пунктах A1 и A2, выразите отношение давлений $p_1/p_0$ через показатель адиабаты $\gamma$ и коэффициент уплотнения $k=\rho_1/\rho_0$. Это соотношение называется уравнением адиабаты для ударной волны.

A3. 1 В ЗСЭ подставлена правильная формула для $c$	0.20
A3. 2 $$\frac{p_1}{p_0} = \frac{(\gamma + 1)k - (\gamma -1)}{\gamma + 1 - (\gamma - 1)k }.$$	0.30

A4  ^0.50 Определите максимально возможное значение коэффициента уплотнения $k_{max}$. Ответ выразите через $\gamma$. Рассчитайте ответ для идеального двухатомного газа.

A4. 1 $k$ максимально, когда знаменатель обращается в 0	0.20
A4. 2 $$ k_{max} = \frac{\gamma + 1}{\gamma -1} . $$	0.20
A4. 3 $k = 6$	0.10

B1  ^0.60 Запишите закон сохранения энергии для детонационной волны. Получите из него уравнение, связывающее параметры $p_0$, $\rho_0$, $p_1$, $\rho_1$, скорость перемещения волнового фронта $c$, удельный тепловой эффект реакции $q$, а также показатели адиабаты $\gamma_0$ и $\gamma_1$.

B1. 1 Учтен вклад химической реакции в энергию	0.30
B1. 2 $$ \frac{\gamma_0}{\gamma_0 - 1} \frac{p_0}{\rho_0} + \frac{c^2}{2} + q = \frac{\gamma_1}{\gamma_1 -1} \frac{p_1}{\rho_1} + \frac{c^2}{2} \frac{\rho_0^2}{\rho_1^2}. $$	0.30

B2  ^0.60 Явную зависимость $p_1(v_1)_\text{дет}$ для сильной детонационной волны можно представить в виде:
$$p_1=\cfrac{q}{v_0}\cdot A
$$
Определите $A$. Ответ выразите через $\gamma_1$ и отношение $v_1/v_0$.
Это соотношение называется уравнением детонационной адиабаты.

B2. 1 Закон сохранения энергии записан в корректном приближении	0.20
B2. 2 $$ A = \frac{2}{\frac{\gamma_1 + 1}{\gamma_1 -1} \frac{v_1}{v_0} - 1}. $$	0.40

B3  ^0.60 На одном графике качественно изобразите зависимость $p_1(v_1)_\text{дет}$, а также зависимость $p_1(v_1)_\text{имп}$ при различных значениях скорости перемещения волнового фронта $c$.

B3. 1 График $p_1(v_1)_\text{дет}$ — гипербола	0.20
B3. 2 График $p_1(v_1)_\text{имп}$ прямая, проходящая через точку $(v_0, 0)$	0.20
B3. 3 На графике минимум 3 прямых	0.20

B4  ^1.40 Определите параметры $p_1$ и $v_1$ точки Чепмена-Жуге. Выразите ответ через $v_0$, $\gamma_1$, $q$.

B4. 1 Использовано соотношение $p_1(v_1)_{\text{дет}} = p_1(v_1)_{\text{имп}}$	0.20
B4. 2 Использование касание кривых (как наличие только одного корня или как равенство производных)	0.20
B4. 3 Уравнение сведено к квадратному уравнению или корректно записано условие равенства производных	0.40
B4. 4 $v_1 = \frac{\gamma_1}{\gamma_1 + 1} v_0,$	0.30
B4. 5 $p_1 =\frac{2q}{v_0} (\gamma_1 -1).$	0.30

B5  ^0.20 Определите скорость перемещения волнового фронта $c$. Ответ выразите через $q$ и $\gamma_1$.

B5. 1 $$ c = \sqrt{2q (\gamma_1^2 -1)}. $$

0.20

B6  ^0.60 Рассчитайте скорость перемещения волнового фронта при детонационной волне в смеси кислорода и водорода, если при его нагревании до высоких температур происходит следующая химическая реакция:
$$
2\mathrm{H}_2+ \mathrm{O} _2 = \mathrm{H}_2 \mathrm{O} + \mathrm{H}^{+} + \mathrm{HO}^{-}.
$$
Реальный процесс горения водорода представляет собой совокупность реакций, в которых взаимодействуют атомы кислорода и водорода, поэтому в числе продуктов реакции нужно учитывать ионы $\mathrm{H}^{+}$ и $\mathrm{HO}^{-}$ (этот ион можно считать двухатомной молекулой). В смеси на 2 моля водорода приходится моль кислорода в соответствии с уравнением реакции. Для этой реакции считайте, что $q \approx 15~\text{МДж}/\text{кг}$ на каждый килограмм израсходованного водорода.

B6. 1 Постоянная адиабата смеси $\gamma = 10/7$	0.20
B6. 2 Учтена масса кислорода в реакции	0.20
B6. 3 $c = 1.86 \cdot 10^3 ~\frac{\text{ м}}{\text{с}}$ (засчитывается и при отсутствии предыдущих двух пунктов)	0.20

C1  ^1.20 Получите уравнение светодетонационной адиабаты, аналогичное пункту B2, то есть найдите давление $p_1$ в плазме после прохождения волнового фронта. Выразите ответ через $v_0$, $v_1$, $\gamma_1$, $I_0$.

C1. 1 Закон сохранения энергии с правильным $q$	0.20
C1. 2 Использовано приближение сильной волны	0.20
C1. 3 Корректно подставлено выражения для $c$	0.20
C1. 4 $ p_1 =\left( \frac{2I_0 \sqrt{v_0 -v_1}}{\frac{\gamma_1 +1}{\gamma_1 - 1} v_1 - v_0} \right)^{2/3} $	0.60
C1. 5 Ошибка в численном коэффициенте, не влияющая на зависимость от $v_1$, $v_0$, $I_0$.	-0.30

C2  ^1.40 Определите параметры ($p_1$ и $v_1$) точки Чемпена-Жуге для светодетонационной адиабаты. Ответ выразите через $v_0$, $\gamma_1$, $I_0$.

C2. 1 Использовано соотношение $p_1(v_1)_{\text{дет}} = p_1(v_1)_{\text{имп}}$	0.20
C2. 2 Использование касание кривых (как наличие только одного корня или как равенство производных)	0.20
C2. 3 Уравнение сведено к квадратному уравнению или корректно записано условие равенства производных	0.40
C2. 4 $v_1 = \frac{\gamma_1}{\gamma_1 + 1} v_0,$	0.20
C2. 5 $$ p_1 = \left( \frac{4 I_0^2}{v_0}\frac{(\gamma_1 -1)^2}{\gamma_1 + 1}\right)^{1/3} $$	0.40

С3  ^0.40 Определите скорость перемещения волнового фронта $c$ светодетонационной волны. Выразите ответ через $\gamma_1$, $I_0$, $\rho_0$. Рассчитайте ее численное значение.

С3. 1 $c = \left(2 I_0 v_0 (\gamma_1^2 -1) \right)^{1/3}$	0.20
С3. 2 $c \approx100 ~\frac{\text{км}}{\text{с}}$ (оценивается даже для формул с неправильным численным коэффициентом)	0.20