Pho.rs: Тепловое расширение струны

A1 ^0.50 Пусть вертикальное смещение точки струны, находящейся над цилиндром, составило $\Delta h$. Используя обозначения рисунка выше, получите приближенное выражение для добавочного удлинения струны $\Delta L$, считая $$ \Delta h^2, \ (h_1 - h_2)^2 \ll a_1^2, \ a_2^2. $$

1 $x_0(0) = \sqrt{(a_1+a_2)^2 + (h_1-h_2)^2} \approx a_1+a_2+\frac{(h_1-h_2)^2}{2(a_1+a_2)}$	0.10
2 $$ x_1(\Delta h) = a_1 + \frac{\left(\frac{a_1}{a_1+a_2}(h_1-h_2) - \Delta h\right)^2}{2a_1} \\ x_2(\Delta h) = a_2 + \frac{\left(\frac{a_2}{a_1+a_2}(h_1-h_2) + \Delta h\right)^2}{2a_2} $$	2 × 0.10
3 $x_0(\Delta h) = a_1+a_2+\frac{(h_1-h_2)^2}{2(a_1+a_2)} + \frac{a_1+a_2}{2a_1a_2} \Delta h^2$	0.10
4 $\Delta L = \frac{a_1+a_2}{2a_1a_2} \Delta h^2$	0.10

A2 ^0.40 С помощью микрометра измерьте диаметр $d$ натянутой струны. Оцените погрешность полученной величины.

1 $d \in [0.35; 0.36] \ мм$	0.30
2 Погрешность $d$	0.10

A3 ^0.20 Измерьте длину $L_к$ рабочей части струны (между левым креплением и левым подшипником, согласно рисунку с оборудованием). Оцените погрешность полученной величины.

1 $L_к \in [52; 54] \ см$	0.15
2 Погрешность $L_к$	0.05

A4 ^0.50 Получите выражение для частоты гармоники с номером $n$ для струны, выразив ее через $E$, $L'$, $l$, $L_к$, $d$, $\Lambda$, $n$.

1 $c = \sqrt{\frac{T}{\Lambda}}$	0.15
2 $T = ES \varepsilon \qquad$ либо $\qquad T = \frac{E \pi d^2}{4}\left(\frac{L'}{l}-1\right)$	0.15
3 $f_n = \frac{nd}{4L_к} \sqrt{\frac{E \pi}{\Lambda}\left(\frac{L'}{l}-1\right)}$	0.20

A5 ^0.30 Меняя частоту сигналов генератора, добейтесь резонанса струны на первой гармонике. Запишите найденную частоту в лист ответов. Оцените погрешность полученной величины.

1 $f_1 \in [190; 250] \ Гц$	0.20
2 Значение указано с точностью до десятых Гц	0.05
3 Погрешность $f_1$	0.05

A6 ^1.20 Вращая винт, постепенно растягивайте струну. Проведите измерения частоты первой гармоники при различных положениях винта (не менее 8 точек).

1 Измерения (8 точек)	8 × 0.10
2 Присутствуют точки для $\geq 5$ оборотов	0.40

A7 ^1.30 Используя результаты пункта A4, постройте линеаризованный график зависимости частоты $f$ первой гармоники от дополнительного удлинения струны $\Delta L$. Найдите модуль Юнга материала струны $E$ и относительное удлинение струны в исходном состоянии $\varepsilon_0 = \frac{L - l}{l}$. Оцените погрешности полученных величин.

1 График: масштаб, оцифровка, все точки нанесены, проведена прямая.	4 × 0.15
2 $E \in [1.20; 2,40] \cdot 10^{11} \ Па$	0.15
3 $E \in [1.50; 2.10] \cdot 10^{11} \ Па$	0.15
4 Погрешность $E$	0.10
5 $\varepsilon_0 \in [2; 4] \cdot 10^{-3}$ Баллы за пункт можно получить, только если ответ для $E$ попадает хотя бы в широкие ворота.	0.20
6 Погрешность $\varepsilon_0$	0.10

B1 ^0.70 Придумайте и опишите схему, которая позволит вам измерять сопротивление струны при пропускании через нее тока.

1 Описана верная схема

0.70

B2 ^2.50 Постепенно увеличивая ток через струну, снимите зависимость частоты первой гармоники $f$ от сопротивления струны $R$ (не менее 10 точек).

Примечание: чтобы избежать слишком «широкого» резонанса, можно попробовать изменить амплитуду генератора.

1 Измерения (10 точек)	10 × 0.20
2 Присутствуют точки для напряжения на струне $\geq 2 \ В$	0.50

B3 ^0.50 Найдите $R_0$ — сопротивление струны при комнатной температуре. Оцените погрешность полученной величины.

1 M1 Получено $R_0 \approx 1.4 \ Ом$ исходя из данных при малых напряжениях	0.50
2 M2 Получено $R_0 \approx 1.4 \ Ом$ с помощью омметра	0.20

B4 ^0.70 Получите теоретическую зависимость $f(R)$.

1 $f(\Delta T) = \frac{d_0(1+\alpha \Delta T)}{4L_к} \sqrt{\frac{E \pi}{\Lambda}\left(\frac{L}{l_0(1+\alpha \Delta T)}-1\right)}$	0.20
2 $\Delta T = \frac{1}{\beta}\left(\frac{R}{R_0}-1\right)$	0.10
3 $$ f(R) = \frac{d_0 \left(1+ \frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{R}{R_0}-1\right)\right)}{4L_к} \sqrt{\frac{E \pi}{\Lambda}\left(\frac{L}{l_0\left(1+ \frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{R}{R_0}-1\right)\right)}-1\right)} $$ либо $$ f(R) = \frac{d_0}{4L_к} \sqrt{\frac{E \pi}{\Lambda}\left(\frac{\alpha}{\beta} \left(\frac{R}{R_0}-1 \right) \left(\frac{L}{l_0}-2\right)+\left(\frac{L}{l_0}-1\right)\right)} $$ либо $$ f(R) = \frac{d_0}{4L_к} \sqrt{\frac{E \pi}{\Lambda}\left(-\frac{\alpha}{\beta} \left(\frac{R}{R_0}-1 \right) +\left(\frac{L}{l_0}-1\right)\right)} $$	0.40

B5 ^1.20 Постройте линеаризованный график зависимости $f$ от $R$. По графику определите значение $\alpha$. Оцените погрешность полученной величины.

1 Правильная линеаризация с верными коэффициентами $$ \left( f^2 = -\frac{E \pi d_0^2}{16 \Lambda L_к^2 R_0}\frac{\alpha}{\beta}R+const. \right) $$	0.20
2 График: масштаб, оцифровка, все точки нанесены, проведена прямая.	4 × 0.15
3 $\alpha \in [4.5; 5.5] \cdot 10^{-6} \ К^{-1}$	0.30
4 Погрешность $\alpha$	0.10

Тепловое расширение струны

Разбалловка