Под действием силы тяжести центр масс кольца приобретает скорость $v$, направленную вертикально вниз. При этом возникает сила Лоренца $F_{L1}$, приводящая к вращению кольца вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega $, которая в свою очередь приводит к появлению вертикальной составляющей силы Лоренца $F_{L2}$, направленной против силы тяжести вне зависимости от знака заряда кольца.
Уравнение движения центра масс кольца имеет вид
\begin{equation}
m\frac{dv}{dt}=mg-F_{L2},
\end{equation}
где сила Лоренца
\begin{equation}
F_{L1}=qv_{rot}B,
\end{equation}
а линейная скорость вращения кольца
\begin{equation}
v_{rot}=\omega r.
\end{equation}
Таким образом, уравнение движения центра масс кольца имеет вид
\begin{equation}
m\frac{dv}{dt}=mg-q\omega rB.
\end{equation}
Уравнение вращательного движения кольца записывается как
\begin{equation}
I\frac{d\omega }{dt}=M_{L1},
\end{equation}
где момент силы Лоренца $F_{L1}$ определяется выражением
\begin{equation}
M_{L1}=qvBr,
\end{equation}
а момент инерции самого кольца равен
\begin{equation}
I=mr^2.
\end{equation}
Пусть $h$ представляет собой вертикальное смещение центра масс кольца, тогда его скорость равна
\begin{equation}
v=\frac{dh}{dt}.
\end{equation}
Собирая вместе уравнения выше и интегрируя по времени с учетом начального условия $\omega =0$ при $h=0$, получаем соотношение
\begin{equation}
I\omega =qBrh.
\end{equation}
В момент, когда скорость центра масс кольца максимальна, полная сила в правой части уравнения движения обращается в ноль, что приводит к выражению
\begin{equation}
mg=qBr{\omega }_0.
\end{equation}
Используя для этого момента времени соотношение
\begin{equation}
I{\omega }_0=qBrh_0,
\end{equation}
применим закон сохранения энергии в следующем виде
\begin{equation}
mgh_0=\frac{mv^2_\max}{2}+\frac{I{\omega }^2_0}{2}.
\end{equation}
Решая совместно уравнения уравнения выше, а также выражение для момента инерции, находим максимальную скорость центра масс кольца
Подставляя соотношение \eqref{GrindEQ__9_} в уравнение движения центра масс кольца \eqref{GrindEQ__4_} и используя \eqref{GrindEQ__8_}, получаем уравнение гармонических колебаний
\begin{equation}
m\frac{d^2h}{dt^2}=mg-\frac{{(qB)}^2}{m}h
\end{equation}
с частотой
\begin{equation}
{\omega }_L=\frac{qB}{m}.
\end{equation}
Искомое время представляет собой четверть периода колебаний и составляет
$$
\Delta t=\frac{\pi }{{2\omega }_L}
$$
Начальная скорость центра масс кольца равна нулю и максимальна в момент прохождения положения равновесия, поэтому максимальная высота $h_{max}$, на которую опустится центр масс кольца составляет
\begin{equation}
h_\max=2h_0=\frac{2gm^2}{q^2B^2}.
\end{equation}
Под действием силы тяжести центр масс кольца приобретает скорость $v$, направленную вертикально вниз. При этом в кольце в результате действия магнитного поля возникает индкуционный ток $I$, приводящий к появлению вертикальной силы Лоренца $F_L$, направленной против силы тяжести.
Уравнение движения центра масс кольца имеет вид
\begin{equation}
m\frac{dv}{dt}=mg-F_L,
\end{equation}
а сила Лоренца определяется выражением
\begin{equation}
F_L=BIL,
\end{equation}
с длиной кольца
\begin{equation}
L=2\pi r.
\end{equation}
При движении в магнитном поле в кольце возникает электродвижущая сила, равная
\begin{equation}
\mathrm{ℇ}=\frac{d\mathit{\Phi}}{dt}=BLv,
\end{equation}
которая по закону Ома приводит к возникновению индукционного тока
\begin{equation}
\mathrm{ℇ}=IR,
\end{equation}
где сопротивление кольца равно
\begin{equation}
R=\rho \frac{L}{s}.
\end{equation}
В режиме установившегося падения центра кольца его скорость $v=v_0$ остается неизменной, тогда из уравнений выше получаем
Выражая скорость из уравнений п. 4, получаем дифференциальное уравнение
\begin{equation}
\frac{mR}{BL}\frac{dI}{dt}=mg-BLI,
\end{equation}
с начальным условием
\begin{equation}
I\left(0\right)=0.
\end{equation}
Решением уравнения при этом условии является функция
\begin{equation}
I\left(t\right)=\frac{mg}{2\pi rB}\left[1-{\mathrm{exp} \left(-\frac{2\pi rsB^2}{m\rho }t\right)}\right].
\end{equation}
Таким образом,
Уравнение движения центра масс кольца по-прежнему описывается уравнениями п. 4, а в кольце также генерируется электродвижущая сила. Однако в данном случае происходит накопление зарядов противоположного знака на торцах разреза, поэтому вместо закона Ома имеем
\begin{equation}
\mathrm{ℇ}-\frac{q}{C}=IR,
\end{equation}
где
\begin{equation}
C=\frac{{\varepsilon }_0S}{\delta }.
\end{equation}
Так как торцы заряжаются индукционным током, то
\begin{equation}
I=\frac{dq}{dt}.
\end{equation}
В установившемся режиме ускорение центра масс кольца будет постоянным, так согласно уравнению движения п. 4 сила тока также будет постоянной. Дифференцируя, получим окончательно установившееся ускорение
Дифференцируя уравнения п. 6, получаем
\begin{equation}
BL\frac{dv}{dt}=\frac{I}{C}+R\frac{dI}{dt}.
\end{equation}
Разделив это уравнение на уравнение движения п. 4, получим дифференциальное уравнение для тока в кольце
\begin{equation}
R\frac{dI}{dt}=gBL-\left(\frac{1}{C}+\frac{B^2L^2}{m}\right)I
\end{equation}
с начальным условием
\begin{equation}
I\left(0\right)=0.
\end{equation}
Решением уравнения выше является функция
\begin{equation}
I\left(t\right)=\frac{2\pi rg{\varepsilon }_0sB}{\delta \left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)}\left[1-{\mathrm{exp} \left(-\left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)\frac{\delta }{2\pi r\rho {\varepsilon }_0}t\right)}\right].
\end{equation}
Таким образом,