1
??
Найдите максимально возможное расстояние $l_{max}$ между точками падения шариков.
Воспользуемся законами сохранения импульса и энергии при соударении:$$
\begin{cases}m \vec{v}_0=m \vec{v}_1+m \vec{v}_2 & \text { ЗСИ } \\ \cfrac{m v_0^2}{2}=\cfrac{m v_1^2}{2}+\cfrac{m v_2^2}{2} & \text { ЗСЭ }\end{cases}$$Возведем ЗСИ в квадрат и получим:
$$v_0^2=v_1^2+v_2^2+2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 $$С учетом ЗСЭ получим $$2 \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 =0 \implies \vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$$ Поскольку $v_1^2+v_2^2=v_0^2$ и $\vec{v}_0=\vec{v}_1+\vec{v}_2$, то треугольник скоростей является прямоугольным и вписан в окружность с диаметром $v_0$.
Введём в точке старта систему координат $yOx$, где ось $y$ направлена вертикально вверх, а ось $x$ направлена горизонтально. Далее под $v_{x(i)}$ и $v_{y(i)}$ подразумеваются соответственно модули горизонтальной и вертикальной составляющих компонент скоростей $i$-го шарика сразу после удара. Отметим, что $v_{x(1)}=v_{x(2)}=v_x$.
Найдём дальность полета $i$-го шарика:$$t_i=\frac{2 v_{y(i)}}{g}, \quad l_i=v_x t_i \implies l_i=\frac{2 v_x v_{y(i)}}{g}$$Для расстояния между точками падения шариков имеем:$$l=l_1+l_2=\frac{2 v_x\left(v_{y(1)}+v_{y(2)}\right)}{g}=\frac{2 v_0 v_x}{g}$$Таким образом, расстояние между точками падения максимально при максимальном значении $v_x$, равном радиусу окружности или $v_0 / 2$. Таким образом, ответ на первый вопрос:$$l_\text{max}=\frac{v_0^2}{g}$$
