Основными переносчиками тепла в металлах являются электроны. Поэтому существует связь между тепло- и электропроводностью. Этот факт известен как закон Видемана-Франца.

В данной задаче наша цель измерить тепловые и электрические свойства металлов с как можно большей точностью. В части A мы измерим удельную проводимость меди, латуни и алюминия. В части B мы измерим коэффициент теплопроводности меди. В части C измеряется теплоемкость меди. В части D будет измерен коэффициент теплопроводности латуни и алюминия. В результате из всего этого, в части E, будет проверена связь между этими величинами для исследованных металлов.

В этой задаче оценка погрешностей НЕ требуется.

Учтите при планировании эксперимента, что в части B и D есть время ожидания порядка 15 минут. Планируйте своё время в соответствии с этим.

Инструкция по безопасности.

Не подключайте никаких проводов или не разрешенных приборов напрямую в розетку 220 В / 25 А. Вам разрешается подключать только источники питания.

Список оборудования

1. Медная цилиндрическая трубка, длина 200.0 мм, диаметр внутреннего отверстия 6.0 мм, внешний диаметр 20.0 мм.
2. Латунная цилиндрическая трубка, длина 200.0 мм, диаметр внутреннего отверстия 6.0 мм, внешний диаметр 19.0 мм.
3. Алюминиевый цилиндрическая трубка, длина 200.0 мм, диаметр внутреннего отверстия 6.0 мм, внешний диаметр 20.0 мм.
4. Маленький постоянный магнит массой 1.2 грамма.
5. Ёмкость для воды – кастрюля для приготовления Джахнуна, известного израильского блюда. Крышка кастрюли имеет внутри теплообменник и винт наверху. Так же есть 4 литра воды для наполнения кастрюли.
6. Стержень \#1 – медный стержень диаметром 20.0 мм с датчиками температуры (все подключены к разъему) и встроенным нагревателем (подключен к красным проводам) (рис. 2а). Стержень находится внутри теплоизолирующего материала.
7. Стержень \#2 – составной стержень диаметром 20.0 мм с датчиками температуры (все подключены к разъему) и встроенным нагревателем (подключен к красным проводам) (рис. 2а). Стержень находится внутри теплоизолирующего материала.
8. Теплоизолирующий колпачок.
9. Источник питания 12 В для цифрового индикатора.
10. Цифровой индикатор. Цифровой индикатор одновременно показывает температуры восьми датчиков температуры (инструкция ниже). Так же используется как секундомер.
11. Кабель для подключения датчиков температуры к цифровому индикатору.
12. Вольтметр – используйте режим 20 V DC (постоянный ток, рис. 3).
13. Амперметр – используйте режим 10 A DC (постоянный ток, рис. 3).
14. Соединительные провода
15. Источник питания 9 В с выводами "банан", для питания нагревателя.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: 1. Не подключайте никаких проводов или не разрешенных приборов напрямую в розетку. Вам разрешается подключать только источники питания.

2. Не погружайте стержни в воду.

Использование цифрового индикатора

Подсоедините источник питания 12 В (постоянной ток) к цифровому индикатору.

Цифровой индикатор имеет два режима использования: секундомер и индикатор температуры. Когда кабель от датчиков температуры подключен к цифровому индикатору, то автоматически включается режим индикации температуры. Когда кабель отключен – автоматически включается режим секундомера (на экране показывается "Timer mode").

В режиме индикации температуры:

• Нажмите и удерживайте красную кнопку 3 секунды для сброса времени
• Краткое нажатие красной кнопки зафиксирует текущие показания на экране (при этом отсчет времени все равно продолжится, но не будет отображаться)
• Следующее нажатие красной кнопки вернет отображение текущих температур и времени.

В режиме секундомера:

• Нажатие красной кнопки запускает секундомер
• Следующее нажатие останавливает секундомер
• Еще одно нажатие обнуляет показания секундомера

Цифровой индикатор должен быть заново откалиброван для каждого стержня. Датчики температуры используемые в эксперименте не совсем одинаковы. Поэтому, когда части стержня находится в тепловом равновесии, мы должны откалибровать датчики. Чтобы это сделать, первым шагом подключите один конец кабеля к стержню. Затем, нажмите и удерживая красную кнопку подключите другой конец кабеля к цифровому индикатору. Теперь он откалиброван. Отсоединение кабеля или отключение питания не сбрасывают калибровку.

ВНИМАНИЕ: Проводите калибровку перед соединением стержня с ёмкостью или включением нагрева. Это обеспечивает одинаковость температур вдоль стержня и правильную калибровку.

Если вы столкнулись с какими-то проблемами цифрового индикатора – попробуйте отключить и включить питание. Цифровой индикатор запомнит последнюю калибровку.

Часть A: Удельная проводимость меди, алюминия и латуни (1.5 балла)

Теория

Когда постоянный магнит падает внутри проводящей цилиндрической трубы, он тормозится диссипативными силами вихревых токов. Поэтому, устанавливается постоянная скорость падения. Для нашей геометрии установившаяся скорость может быть выражена как:

$${v_{terminal}} = \frac{{8\pi mg{a^2}}}{{\mu _0^2{{\left( {\pi r_m^2M} \right)}^2}\sigma wf\left( {\frac{d}{a}} \right)}}.$$

Здесь $m$ – масса магнита, $\sigma$ – удельная проводимость, $a$ – внутренний радиус трубы, $r_m$ и $d$ – радиус и высота магнита, соответственно, $M$ – намагниченность магнита, $w$ – толщина стенок трубы, $f\left( {\frac{d}{a}} \right)$ некоторая функция. В нашем случае, $a \approx {r_m}$ , $d = 2{r_m} \approx 2a$ и $f\left( 2 \right) \approx 1.75$ . Поэтому, время, необходимое для движения через трубу приблизительно равно:

$$t = 0.22\frac{{\pi r_m^2{{\left( {{\mu _0}M} \right)}^2}w{L_0}}}{{mg}}\sigma.$$

Здесь ${L_0} = 0.2$~м – длина трубы, мы считаем что магнит достигает установившейся скорости сразу после отпускания.

Параметры трубы и магнита, необходимые для вычисления:

${\mu _0}M = 0.65$ Тл, ${w_\mathrm{Aluminum}} = {w_\mathrm{Copper}} = 7.0 \times {10^{ - 3}}$ м, ${w_\mathrm{Brass}} = 6.5 \times {10^{ - 3}}$ м, $m = 1.2 \times {10^{ - 3}}$ кг $\,,\,{r_m} = 3.0 \times {10^{ - 3}}$ м, $g=9.8$ м/с$^2$

Эксперимент

A1  ^1.00 Используя цифровой индикатор как секундомер, измерьте времена падения магнита через полые трубы, изготовленные из алюминия, меди, латуни. Запишите измерения в таблицу A1.

A2  ^0.50 Используя выражения выше, найдите удельные проводимости ${\sigma _\mathrm{Aluminum}},{\sigma _\mathrm{Copper}},{\sigma _\mathrm{Brass}}$ каждого материала.

Часть B: Коэффициент теплопроводности меди (3.0 балла)

Цель этой части измерить коэффициент теплопроводности меди близко к стационарному состоянию.

Теория

Коэффициент теплопроводности $\kappa $ определяется выражением $ P\left( x \right) = - \kappa A \cdot \frac{{\Delta T\left( x \right)}}{{\Delta x}}$. Это выражение описывает линейную связь между градиентом температуры и потоком тепла, протекающим через поперечное сечение. Здесь, $P\left( x \right)$ – мощность протекающая через поперечное сечение, расположенное в точке $x$, $A$ – площадь поперечного сечения и $\Delta T\left( x \right)/\Delta x$ – градиент температуры в точке $x$.

Эксперимент

Откалибруйте и подключите цифровой индикатор к стержню \#1. Наполните кастрюлю 4 литрами воды (2 бутылки) так, чтобы теплообменник был полностью погружен в воду, и закройте крышку.

B1  ^0.10 Укажите начальную температуру стержня \#1, когда он лежит на столе.

Отключите кабель от стержня \#1. Снимите термоизолирующий колпачок и накрутите стержень \#1 на крышку кастрюли. Подключите кабель к стержню \#1, как показано на рис. 5. Будьте осторожны, не прикладывайте чрезмерных усилий.

B2  ^0.50 Нарисуйте схему электрической цепи, которая позволит подключить нагреватель к источнику и измерять мощность. Ваша цепь должна содержать следующие элементы: источник питания 9 В, нагреватель, вольтметр, амперметр, соединительные провода. Вы можете использовать соединение и разъединение проводов в качестве ключа.

Коэффициент теплопроводности измеряется следующим образом: к одной стороне стержня подводится тепловая мощность, другая строна поддерживается при постоянной температуре за счет ёмкости с водой.

Наша цель получить состояние, очень близкое к установившемуся. Соберите схему пункта B2 и включите питание.

B3  ^0.10 Проведите измерения и вычислите подводимую к нагревателю мощность $P$.

Подождите 15 минут. В течении этого времени к нагревателю должна подводиться мощность (Вы можете использовать это время для планирования эксперимента).

B4  ^0.50 Укажите в таблицу температуры всех восьми термометров во времена (примерно): 15 мин, 17.5 мин, 20 мин.

B5  ^1.00 На одной миллиметровке постройте три графика зависимости температуры от координаты (для каждого времени). Эти графики будут так же использованы в части D.

B6  ^0.50 Используя график для данных для времени 17.5 мин определите коэффициент теплопроводности меди ${\kappa _0}$. Не учитывайте любые потери тепла в этой части. Оцените скорость изменения температуры $\frac{{{\Delta T}}}{{{\Delta t}}}$ стержня в момент времени 17.5 мин.

B7  ^0.30 Ожидаете ли вы более высокое / более низкое / такое же значение для ${\kappa _0}$ по сравнению с реальным значением ${\kappa}$

Часть C: Оценка потерь тепла и теплоёмкости меди (4.0 балла)

Теория

Теплоёмкость $C$ определяется следующим выражением:

$${\Delta }Q = C{\Delta T},\qquad \frac{{{\Delta }Q}}{{{\Delta }t}} = C\left( {\frac{{{\Delta T}}}{{{\Delta t}}}} \right).$$

Здесь $\Delta Q/\Delta t$ – скорость передачи теплоты материалу, $\Delta T/\Delta t$ – скорость изменения температуры. Удельная теплоёмкость ${c_p}$ – теплоемкость на единицу массы. Масса медного стержня равна $0.58$ kg.

Эксперимент

Выключите источник питания нагревателя. Отключите и открутите стержень \#1 и положите его на стол. Поместите теплоизолирующий колпачок на стержень, как это было до начале эксперимент. Подсоедините кабель к цифровому индикатору и цепь нагревателя к стержню \#1.

Внимание: Не оставляйте нагреватель в этой части надолго без контроля температуры.

Используя цикл из охлаждения, нагревания и опять охлаждения мы можем получить и оценку потерь тепла, и теплоёмкость материала. Этап нагрева должен изменить среднюю температурю стержня примерно на $2.5^\circ$C. Для достижения необходимой точности достаточно цикла охлаждения-нагревания-охлаждения продолжительностью 10-15 минут.

В этой части мы будем работать с температурами близкими к установившимся в части B.

Для учета всей тепловой энергии, запасенной в стержне, предполагается следить за средней температурой стержня. Температура в середине стержня с достаточной точностью равна средней температуре стержня.

C1  ^1.00 Проведите цикл охлаждения-нагревания-охлаждения и занесите данные в таблицу C1 для нахождения средней температуры стержня.

C2  ^1.00 Постройте на миллиметровке график зависимости средней температуры от времени.

C3  ^1.00 Используя график, вычислите удельную теплоёмкость ${c_p}$ и мощность тепловых потерь $P_\text{loss}$ для средней температуры для данных части B. Опишите ваш метод используя схемы и формулы.

В итоге, есть два механизма, которые должны быть учтены для повышения точности измерения коэффицента теплопроводности в части B:

• Есть потери тепла за счет радиальной теплопроводности через термоизоляцию.
• Система не достигает стационарного состояния к моменту проведения измерений.

В первом приближении, можно считать, что эти механизмы меняют мощность теплопроводности одинаково на единицу длины $\Delta P\left( x \right)/\Delta x$.

C4  ^1.00 Используя указанные выше механизмы, запишите выражение, которое позволяет получить более точное значение коэффициента теплопроводности из измерений части B. Используйте ${\kappa _0},P,{c_p},m,P_\text{loss},\frac{{\Delta T}}{{\Delta t}}$ из части B, C для исправленного значения коэффициента теплопроводности меди ${\kappa _{\mathrm{Copper}}}$. Вычислите это значение.

Часть D: Коэффициент теплопроводности латуни и алюминия (1.0 балла)

Откалибруйте датчики температуры (как описано ранее в части B) и подключите стержень \#2 к цифровому индикатору.

D1  ^0.10 Укажите начальную температуру стержня, когда он находится ещё на столе.

Отключите кабель и прикрутите стержень \#2 на крышку кастрюли, как показано на рис. 4. Подключите кабель к индикатору.

Повторите процедуру из части B для достижения стационарного состояния при нагреве.

Подождите как минимум 15 минут с включенным нагревателем.

Вы можете предположить, для точности, требуемой в этой части, что стержень находится в стационарном состоянии. Кроме того, вы можете считать что потери тепла на единицу длины одинаковы вдоль всего стержня.

D2  ^0.20 Запишите значение температуры для всех восьми датчиков температуры стержня 2 и укажите значение градиента температуры $\Delta T/\Delta x$ для каждой секции стержня.

В первом приближении вы можете поступить как в пункте C.4, а именно считать что $\Delta P\left( x \right)/\Delta x$ равно константе.

D3  ^0.70 Выразите ${\kappa _{\mathrm{Brass}}}$ и ${\kappa _{\mathrm{Aluminum}}}$ используя предыдущие измерения и получите числовые значения.

Часть E: Закон Видемана-Франца (0.5 балла)

Закон Видемана-Франца утверждает, что в металлах, где перенос тепла происходит в основном из-за электронов, отношение коэффициента теплопроводности и удельной проводимости линейно зависит от температуры. Более того, этот закон утверждает, что коэффициент $L = \frac{\kappa }{{\sigma T}}$ (известный как число Лоренца) одинаков для многих металлов и зависит только от фундаментальных физических постоянных. В действительности, для металлов при комнатной температуре, закон выполняется с точностью $10\% $.

E1  ^0.50 Укажите полученные вами значения коэффициента теплопроводности и удельной проводимости ( $\kappa ,\sigma $) в таблицу E1. Вычислите значение $L$ для каждого материала и укажите в той же таблице E1. Считайте, коэффициент теплопроводности не зависит от температуры.