В вертикальном теплоизолированном цилиндре содержится аргон (его можно считать идеальным газом с молярной массой $\mu = 40~г/моль$). Газ удерживается в сосуде с помощью теплонепроводящего поршня, масса которого $m=0.64~кг$, а площадь сечения $A=80~см^2$. Поршень может перемещаться внутри цилиндра без трения, а газ при этом не утекает. Воздуха снаружи нет. В начальный момент температура газа равна $T_i=293~К$, а высота, на которой поршень находится в равновесии, (т.е. высота той части цилиндра, которую занимает газ) равна $y_i=1.0~м$. Ускорение свободного падения $g=9.81~м/с^2$, универсальная газовая постоянная $R=8.315~Дж/(моль\cdot К)$.

Часть A. Параметры газа в начальный момент (0.8 балла)

A1  ^0.80 Чему равно давление газа в начальный момент? Какая масса аргона содержится в цилиндре? Рассчитайте также численные значения обеих величин.

Часть В. Очень малые возмущения (2.3 балла)

Пусть в некоторый момент времени поршень резко толкнули так, что его начальная скорость $u_i$ много меньше скорости теплового движения молекул $v_{Ti}$ газа в начальный момент времени (так, что их отношением можно пренебречь).

B1  ^0.40 Найдите зависимость температуры газа $T$ от координаты $y$.

B2  ^1.60 Найдите зависимость расстояния от дна цилиндра до поршня $y(t)$ в зависимости от времени.

B3  ^0.30 Найдите изменение энтропии газа в этом процессе.

Часть C. Малые возмущения (6.9 балла)

Пусть теперь скорость $u$ по меньшей мере на порядок больше, чем в предыдущей части задачи, но все равно много меньше, чем скорость теплового движения молекул газа. Т.к. скорость поршня мала, можно считать, что турбулентного движения газа не возникает. Однако, известно, что давление в объеме газа не везде одинаково. Например, когда поршень движется вверх, непосредственно под ним образуется тонкий слой разреженного газа.
Рассмотрим поведение системы, разделив газ на две гидродинамические области:
— тонкий слой разреженного газа непосредственно под поршнем со следующими свойствами:

• его объем $\delta V$ пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;
• давление в слое постоянно по объему, но немного меньше, чем давление в остальной части газа;
• температура в слое такая же, как и в остальной части газа;

— остальная часть газа, в которой давление и температура такие же, как в равновесии.

Наличие тонкого гидродинамического слоя под поршнем приводит к макроскопическому эффекту: на поршень начинает действовать сила сопротивления. Поэтому механическая энергия поршня превращается в тепловую, и поршень в конце концов останавливается.

C1  ^1.60 Найдите конечное положение поршня $y_f$ (высоту от дна цилиндра) и конечную температуру газа $T_f$. Рассчитайте их численные значения, если $u_i=5.0~м/с$.

C2  ^0.80 Найдите изменение энтропии $\Delta S$ в этом процессе и рассчитайте числовое значение.

Строгое неравенство $u \ll v_T$ означает, что слагаемыми $u/v_T$ со степенями больше единицы можно пренебречь.

C3  ^1.60 Найдите давление $p^*$ в тонком слое газа под поршнем во время его движения вверх.

Точный анализ динамики движения газа и поршня подразумевает одновременное решение системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, что возможно сделать только численно. Однако задачу можно решить в асимптотическом приближении, рассматривая последнюю стадию движения поршня, т.е. когда $y=y_f+z$, $z \ll y_f$ ($y$ и $y_f$ соответствуют величинам, введенным выше по тексту). Также, в конце движения поршня можно пренебречь величиной $\frac{mu^2}{m_{\rm Ar}v_{Tf}^2}$, потому что $u\ll u_i$, даже если изначально $u_i \lesssim \sqrt{\frac{m_{\rm Ar}}{m}}v_{Ti}$.

C4  ^2.40 Покажите, что на последней стадии движение поршня описывается затухающими колебаниями. Найдите псевдо-период этих колебаний. Рассчитайте его численное значение.

C5  ^0.50 Сколько времени потребуется, чтобы поршень остановился? Чтобы оценить это время, найдите время релаксации колебаний поршня и рассчитайте численное значение времени затухания колебаний $\tau_{tot}$. Считайте, что оно составляет 5 времен релаксации. Рассчитайте также число колебаний $N$, совершенных поршнем за это время.

Примечания:

1. Для идеального газа средние значения скорости $v$ и квадрата скорости $v^2$ теплового движения молекул в направлении движения поршня равны

$$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{2RT}{\pi\mu}}, \quad \langle v^2 \rangle=\frac{RT}{\mu}$$

2. Вам может потребоваться следующее приближение

$$(1+x)^n \approx 1+nx,\, |x|\ll 1.$$

Задача предложена доцентом факультета физики Ясского университета им. Куза А.И. (Румыния) Себастианом Попеску, PhD