1 Начальное давление газа $p_i=mg/A$ | 0.20 |
|
2 Величина $p_i = 7.9\cdot 10^2~Па$ | 0.10 |
|
3 Уравнение Менделеева-Клапейрона $m_{\rm Ar} = \frac{p_i V_i\mu}{RT_i}$ | 0.20 |
|
4 $V_i = Ay_i$ | 0.10 |
|
5 $m_{\rm Ar} = \cfrac{mgy_i\mu}{RT_i}$ | 0.10 |
|
6 $m_{\rm Ar} = 1.0\cdot 10^{-4}~кг$ | 0.10 |
|
1 Уравнение адиабатического процесса $T_iV_i^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$ | 0.20 |
|
2 Преобразование к $T_iy_i^{\gamma-1}=Ty^{\gamma-1}$ | 0.10 |
|
3 $T=T_i\left(\cfrac{y_i}{y}\right)^{2/3}$ | 0.10 |
|
1 Второй закон Ньютона для поршня $ma=pA-mg$ | 0.20 |
|
2 $mg=p_i A$ | 0.10 |
|
3 Последовательное приближение $p\approx p_i\left(1-\gamma\,\cfrac{\Delta y}{y_i}\right)$ | 0.40 |
|
4 $a=-\cfrac{\gamma g}{y_i}\Delta y$ | 0.10 |
|
5 Сведение к уравнению колебаний вида $y=y_i + B\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$ | 0.20 |
|
6 $\omega_0=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}$ | 0.10 |
|
7 Использование начальных условий $y(0) = y_i$ и $u(0)=u_i$ | 2 × 0.10 |
|
8 Нахождение коэффициентов в уравнении колебаний $\varphi_0=\pi/2$ и $A=-u_i\sqrt{\cfrac{y_i}{\gamma g}}$ | 2 × 0.10 |
|
9 Окончательный ответ: $y=y_i \left[1+\cfrac{u_i}{\sqrt{\gamma g y_i}}\sin\left(\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}t\right)\right]$ | 0.10 |
|
1 $\Delta S = 0$ | 0.30 |
|
1 Закон сохранения энергии $\cfrac{m}{2}\,(u_f^2 - u_i^2)+\Delta U = L_{ext}$ | 0.20 |
|
2 Работа внешних сил $L_{ext} = -mg\,(y_f-y_i)$ | 0.10 |
|
3 Изменение внутренней энергии $\Delta U = \cfrac{3}{2}\,(p_fV_f-p_iV_i)$ | 0.30 |
|
4 Условие в конце $u_f = 0$ | 0.10 |
|
5 $p_f = p_i = \cfrac{mg}{A}$ | 0.10 |
|
6 $\Delta U = \cfrac{3}{2}mg\,(y_f-y_i)$ | 0.20 |
|
7 Ответ для высоты подъема: $y_f = y_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ | 0.10 |
|
8 Численный ответ $y_f\approx 1.5~м$ | 0.10 |
|
9 $T_f = T_i\,\cfrac{y_f}{y_i}$ | 0.20 |
|
10 Ответ для конечной температуры $T_f=T_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ | 0.10 |
|
11 Численный ответ: $T_f\approx 440~К$ | 0.10 |
|
1 $\Delta S = \cfrac{5}{2}\, nR\ln{\cfrac{y_f}{y_i}}$ | 0.40 |
|
2 $nR=\cfrac{mgy_i}{T_i}$ | 0.20 |
|
3 Ответ $\Delta S = \cfrac{5}{2}\,\cfrac{mgy_i}{T_i}\,\ln\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ | 0.10 |
|
4 Численный ответ: $\Delta S=2.2\cdot 10^{-2}~Дж/К$ | 0.10 |
|
1 $p^*=\cfrac{\langle F\rangle}{A}$ | 0.10 |
|
2 $\langle F\rangle=\cfrac{\delta N\cdot \Delta p}{\delta t}$ | 0.10 |
|
3 $\delta N=\cfrac{1}{2}\,\cfrac{N}{V}\,A(v-u)\delta t$ | 0.30 |
|
4 $\Delta p = 2m_0(v-u)$ | 0.10 |
|
5 $\langle F\rangle = m_0\,\cfrac{N}{V}A(\langle v^2\rangle-2u\langle v\rangle)$ | 0.20 |
|
6 $p^*=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{V}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)$ | 0.20 |
|
7 $\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}RT\approx pV$ | 0.50 |
|
8 Ответ: $p^*=p\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_T}\right)$ | 0.10 |
|
1 $ma=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{y}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-mg$ | 0.20 |
|
2 $a=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{my}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-g$ | 0.10 |
|
3 $\cfrac{m}{2}(u_f^2-u^2)+nC_V(T_f-T_i)=-mg(y_f-y_i)$ | 0.10 |
|
4 $T=T_f\left(1-\cfrac{mu^2}{m_{\rm Ar}v_{Tf}^2}-\cfrac{2p_fAz}{3p_fV_f}\right)$ | 0.20 |
|
5 Пренебрежение $T\approx T_f\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)$ | 0.10 |
|
6 $u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\approx \sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}$ | 0.40 |
|
7 $a=g\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)\left(1+\cfrac{z}{y_f}\right)^{-1}\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}\right)-g$ | 0.20 |
|
8 Преобразование: $a\approx -\omega_1^2z-2\delta u$ | 0.40 |
|
9 $\omega_1=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_f}}$ | 0.10 |
|
10 $\delta = \sqrt{\cfrac{2m_{\rm Ar}g}{\pi my_f}}$ | 0.10 |
|
11 $\omega' = \sqrt{\omega_1^2-\delta^2}=\sqrt{\cfrac{g}{y_f}\left(\gamma-\cfrac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}$ | 0.20 |
|
12 Ответ $T_1'=2\pi\sqrt{\cfrac{y_f}{g\left(\gamma-\frac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}}$ | 0.20 |
|
13 Численный ответ: $T_1' \approx 1.9~с$ | 0.10 |
|
1 $\tau = \cfrac{1}{\delta}=\sqrt{\cfrac{\pi my_f}{2m_{\rm Ar}g}}$ | 0.20 |
|
2 $\tau_{tot}\approx 190~с$ | 0.10 |
|
3 $N=\cfrac{\tau_{tot}}{T_1'}$ и численное значение $N\approx 100$ | 2 × 0.10 |
|