Logo
Logo

Адиабатический поршень

Разбалловка

A1  0.80 Чему равно давление газа в начальный момент? Какая масса аргона содержится в цилиндре? Рассчитайте также численные значения обеих величин.

1 Начальное давление газа $p_i=mg/A$ 0.20
2 Величина $p_i = 7.9\cdot 10^2~Па$ 0.10
3 Уравнение Менделеева-Клапейрона $m_{\rm Ar} = \frac{p_i V_i\mu}{RT_i}$ 0.20
4 $V_i = Ay_i$ 0.10
5 $m_{\rm Ar} = \cfrac{mgy_i\mu}{RT_i}$ 0.10
6 $m_{\rm Ar} = 1.0\cdot 10^{-4}~кг$ 0.10
B1  0.40 Найдите зависимость температуры газа $T$ от координаты $y$.

1 Уравнение адиабатического процесса $T_iV_i^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$ 0.20
2 Преобразование к $T_iy_i^{\gamma-1}=Ty^{\gamma-1}$ 0.10
3 $T=T_i\left(\cfrac{y_i}{y}\right)^{2/3}$ 0.10
B2  1.60 Найдите зависимость расстояния от дна цилиндра до поршня $y(t)$ в зависимости от времени.

1 Второй закон Ньютона для поршня $ma=pA-mg$ 0.20
2 $mg=p_i A$ 0.10
3 Последовательное приближение $p\approx p_i\left(1-\gamma\,\cfrac{\Delta y}{y_i}\right)$ 0.40
4 $a=-\cfrac{\gamma g}{y_i}\Delta y$ 0.10
5 Сведение к уравнению колебаний вида $y=y_i + B\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$ 0.20
6 $\omega_0=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}$ 0.10
7 Использование начальных условий $y(0) = y_i$ и $u(0)=u_i$ 2 × 0.10
8 Нахождение коэффициентов в уравнении колебаний $\varphi_0=\pi/2$ и $A=-u_i\sqrt{\cfrac{y_i}{\gamma g}}$ 2 × 0.10
9 Окончательный ответ: $y=y_i \left[1+\cfrac{u_i}{\sqrt{\gamma g y_i}}\sin\left(\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}t\right)\right]$ 0.10
B3  0.30 Найдите изменение энтропии газа в этом процессе.

1 $\Delta S = 0$ 0.30
C1  1.60 Найдите конечное положение поршня $y_f$ (высоту от дна цилиндра) и конечную температуру газа $T_f$. Рассчитайте их численные значения, если $u_i=5.0~м/с$.

1 Закон сохранения энергии $\cfrac{m}{2}\,(u_f^2 - u_i^2)+\Delta U = L_{ext}$ 0.20
2 Работа внешних сил $L_{ext} = -mg\,(y_f-y_i)$ 0.10
3 Изменение внутренней энергии $\Delta U = \cfrac{3}{2}\,(p_fV_f-p_iV_i)$ 0.30
4 Условие в конце $u_f = 0$ 0.10
5 $p_f = p_i = \cfrac{mg}{A}$ 0.10
6 $\Delta U = \cfrac{3}{2}mg\,(y_f-y_i)$ 0.20
7 Ответ для высоты подъема: $y_f = y_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ 0.10
8 Численный ответ $y_f\approx 1.5~м$ 0.10
9 $T_f = T_i\,\cfrac{y_f}{y_i}$ 0.20
10 Ответ для конечной температуры $T_f=T_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ 0.10
11 Численный ответ: $T_f\approx 440~К$ 0.10
C2  0.80 Найдите изменение энтропии $\Delta S$ в этом процессе и рассчитайте числовое значение.

1 $\Delta S = \cfrac{5}{2}\, nR\ln{\cfrac{y_f}{y_i}}$ 0.40
2 $nR=\cfrac{mgy_i}{T_i}$ 0.20
3 Ответ $\Delta S = \cfrac{5}{2}\,\cfrac{mgy_i}{T_i}\,\ln\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$ 0.10
4 Численный ответ: $\Delta S=2.2\cdot 10^{-2}~Дж/К$ 0.10
C3  1.60 Найдите давление $p^*$ в тонком слое газа под поршнем во время его движения вверх.

1 $p^*=\cfrac{\langle F\rangle}{A}$ 0.10
2 $\langle F\rangle=\cfrac{\delta N\cdot \Delta p}{\delta t}$ 0.10
3 $\delta N=\cfrac{1}{2}\,\cfrac{N}{V}\,A(v-u)\delta t$ 0.30
4 $\Delta p = 2m_0(v-u)$ 0.10
5 $\langle F\rangle = m_0\,\cfrac{N}{V}A(\langle v^2\rangle-2u\langle v\rangle)$ 0.20
6 $p^*=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{V}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)$ 0.20
7 $\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}RT\approx pV$ 0.50
8 Ответ: $p^*=p\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_T}\right)$ 0.10
C4  2.40 Покажите, что на последней стадии движение поршня описывается затухающими колебаниями. Найдите псевдо-период этих колебаний. Рассчитайте его численное значение.

1 $ma=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{y}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-mg$ 0.20
2 $a=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{my}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-g$ 0.10
3 $\cfrac{m}{2}(u_f^2-u^2)+nC_V(T_f-T_i)=-mg(y_f-y_i)$ 0.10
4 $T=T_f\left(1-\cfrac{mu^2}{m_{\rm Ar}v_{Tf}^2}-\cfrac{2p_fAz}{3p_fV_f}\right)$ 0.20
5 Пренебрежение $T\approx T_f\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)$ 0.10
6 $u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\approx \sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}$ 0.40
7 $a=g\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)\left(1+\cfrac{z}{y_f}\right)^{-1}\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}\right)-g$ 0.20
8 Преобразование: $a\approx -\omega_1^2z-2\delta u$ 0.40
9 $\omega_1=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_f}}$ 0.10
10 $\delta = \sqrt{\cfrac{2m_{\rm Ar}g}{\pi my_f}}$ 0.10
11 $\omega' = \sqrt{\omega_1^2-\delta^2}=\sqrt{\cfrac{g}{y_f}\left(\gamma-\cfrac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}$ 0.20
12 Ответ $T_1'=2\pi\sqrt{\cfrac{y_f}{g\left(\gamma-\frac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}}$ 0.20
13 Численный ответ: $T_1' \approx 1.9~с$ 0.10
C5  0.50 Сколько времени потребуется, чтобы поршень остановился? Чтобы оценить это время, найдите время релаксации колебаний поршня и рассчитайте численное значение времени затухания колебаний $\tau_{tot}$. Считайте, что оно составляет 5 времен релаксации. Рассчитайте также число колебаний $N$, совершенных поршнем за это время.

1 $\tau = \cfrac{1}{\delta}=\sqrt{\cfrac{\pi my_f}{2m_{\rm Ar}g}}$ 0.20
2 $\tau_{tot}\approx 190~с$ 0.10
3 $N=\cfrac{\tau_{tot}}{T_1'}$ и численное значение $N\approx 100$ 2 × 0.10