A1  ^0.80 Чему равно давление газа в начальный момент? Какая масса аргона содержится в цилиндре? Рассчитайте также численные значения обеих величин.

A1. 1 Начальное давление газа $p_i=mg/A$	0.20
A1. 2 Величина $p_i = 7.9\cdot 10^2~Па$	0.10
A1. 3 Уравнение Менделеева-Клапейрона $m_{\rm Ar} = \frac{p_i V_i\mu}{RT_i}$	0.20
A1. 4 $V_i = Ay_i$	0.10
A1. 5 $m_{\rm Ar} = \cfrac{mgy_i\mu}{RT_i}$	0.10
A1. 6 $m_{\rm Ar} = 1.0\cdot 10^{-4}~кг$	0.10

B1  ^0.40 Найдите зависимость температуры газа $T$ от координаты $y$.

B1. 1 Уравнение адиабатического процесса $T_iV_i^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$	0.20
B1. 2 Преобразование к $T_iy_i^{\gamma-1}=Ty^{\gamma-1}$	0.10
B1. 3 $T=T_i\left(\cfrac{y_i}{y}\right)^{2/3}$	0.10

B2  ^1.60 Найдите зависимость расстояния от дна цилиндра до поршня $y(t)$ в зависимости от времени.

B2. 1 Второй закон Ньютона для поршня $ma=pA-mg$	0.20
B2. 2 $mg=p_i A$	0.10
B2. 3 Последовательное приближение $p\approx p_i\left(1-\gamma\,\cfrac{\Delta y}{y_i}\right)$	0.40
B2. 4 $a=-\cfrac{\gamma g}{y_i}\Delta y$	0.10
B2. 5 Сведение к уравнению колебаний вида $y=y_i + B\cos(\omega_0 t+\varphi_0)$	0.20
B2. 6 $\omega_0=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}$	0.10
B2. 7 Использование начальных условий $y(0) = y_i$ и $u(0)=u_i$	2 × 0.10
B2. 8 Нахождение коэффициентов в уравнении колебаний $\varphi_0=\pi/2$ и $A=-u_i\sqrt{\cfrac{y_i}{\gamma g}}$	2 × 0.10
B2. 9 Окончательный ответ: $y=y_i \left[1+\cfrac{u_i}{\sqrt{\gamma g y_i}}\sin\left(\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_i}}t\right)\right]$	0.10

B3  ^0.30 Найдите изменение энтропии газа в этом процессе.

B3. 1 $\Delta S = 0$

0.30

C1  ^1.60 Найдите конечное положение поршня $y_f$ (высоту от дна цилиндра) и конечную температуру газа $T_f$. Рассчитайте их численные значения, если $u_i=5.0~м/с$.

C1. 1 Закон сохранения энергии $\cfrac{m}{2}\,(u_f^2 - u_i^2)+\Delta U = L_{ext}$	0.20
C1. 2 Работа внешних сил $L_{ext} = -mg\,(y_f-y_i)$	0.10
C1. 3 Изменение внутренней энергии $\Delta U = \cfrac{3}{2}\,(p_fV_f-p_iV_i)$	0.30
C1. 4 Условие в конце $u_f = 0$	0.10
C1. 5 $p_f = p_i = \cfrac{mg}{A}$	0.10
C1. 6 $\Delta U = \cfrac{3}{2}mg\,(y_f-y_i)$	0.20
C1. 7 Ответ для высоты подъема: $y_f = y_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$	0.10
C1. 8 Численный ответ $y_f\approx 1.5~м$	0.10
C1. 9 $T_f = T_i\,\cfrac{y_f}{y_i}$	0.20
C1. 10 Ответ для конечной температуры $T_f=T_i\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$	0.10
C1. 11 Численный ответ: $T_f\approx 440~К$	0.10

C2  ^0.80 Найдите изменение энтропии $\Delta S$ в этом процессе и рассчитайте числовое значение.

C2. 1 $\Delta S = \cfrac{5}{2}\, nR\ln{\cfrac{y_f}{y_i}}$	0.40
C2. 2 $nR=\cfrac{mgy_i}{T_i}$	0.20
C2. 3 Ответ $\Delta S = \cfrac{5}{2}\,\cfrac{mgy_i}{T_i}\,\ln\left[1+\cfrac{u_i^2}{5gy_i}\right]$	0.10
C2. 4 Численный ответ: $\Delta S=2.2\cdot 10^{-2}~Дж/К$	0.10

C3  ^1.60 Найдите давление $p^*$ в тонком слое газа под поршнем во время его движения вверх.

C3. 1 $p^*=\cfrac{\langle F\rangle}{A}$	0.10
C3. 2 $\langle F\rangle=\cfrac{\delta N\cdot \Delta p}{\delta t}$	0.10
C3. 3 $\delta N=\cfrac{1}{2}\,\cfrac{N}{V}\,A(v-u)\delta t$	0.30
C3. 4 $\Delta p = 2m_0(v-u)$	0.10
C3. 5 $\langle F\rangle = m_0\,\cfrac{N}{V}A(\langle v^2\rangle-2u\langle v\rangle)$	0.20
C3. 6 $p^*=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{V}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)$	0.20
C3. 7 $\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}RT\approx pV$	0.50
C3. 8 Ответ: $p^*=p\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_T}\right)$	0.10

C4  ^2.40 Покажите, что на последней стадии движение поршня описывается затухающими колебаниями. Найдите псевдо-период этих колебаний. Рассчитайте его численное значение.

C4. 1 $ma=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{y}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-mg$	0.20
C4. 2 $a=\cfrac{m_{\rm Ar}}{\mu}\,\cfrac{RT}{my}\left(1-2u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\right)-g$	0.10
C4. 3 $\cfrac{m}{2}(u_f^2-u^2)+nC_V(T_f-T_i)=-mg(y_f-y_i)$	0.10
C4. 4 $T=T_f\left(1-\cfrac{mu^2}{m_{\rm Ar}v_{Tf}^2}-\cfrac{2p_fAz}{3p_fV_f}\right)$	0.20
C4. 5 Пренебрежение $T\approx T_f\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)$	0.10
C4. 6 $u\sqrt{\cfrac{2\mu}{\pi RT}}\approx \sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}$	0.40
C4. 7 $a=g\left(1-\cfrac{2}{3}\,\cfrac{z}{y_f}\right)\left(1+\cfrac{z}{y_f}\right)^{-1}\left(1-2\sqrt{\cfrac{6}{\pi}}\cfrac{u}{v_{Tf}}\right)-g$	0.20
C4. 8 Преобразование: $a\approx -\omega_1^2z-2\delta u$	0.40
C4. 9 $\omega_1=\sqrt{\cfrac{\gamma g}{y_f}}$	0.10
C4. 10 $\delta = \sqrt{\cfrac{2m_{\rm Ar}g}{\pi my_f}}$	0.10
C4. 11 $\omega' = \sqrt{\omega_1^2-\delta^2}=\sqrt{\cfrac{g}{y_f}\left(\gamma-\cfrac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}$	0.20
C4. 12 Ответ $T_1'=2\pi\sqrt{\cfrac{y_f}{g\left(\gamma-\frac{2m_{\rm Ar}}{\pi m}\right)}}$	0.20
C4. 13 Численный ответ: $T_1' \approx 1.9~с$	0.10

C5  ^0.50 Сколько времени потребуется, чтобы поршень остановился? Чтобы оценить это время, найдите время релаксации колебаний поршня и рассчитайте численное значение времени затухания колебаний $\tau_{tot}$. Считайте, что оно составляет 5 времен релаксации. Рассчитайте также число колебаний $N$, совершенных поршнем за это время.

C5. 1 $\tau = \cfrac{1}{\delta}=\sqrt{\cfrac{\pi my_f}{2m_{\rm Ar}g}}$	0.20
C5. 2 $\tau_{tot}\approx 190~с$	0.10
C5. 3 $N=\cfrac{\tau_{tot}}{T_1'}$ и численное значение $N\approx 100$	2 × 0.10