Цель данной задачи — исследовать различные свойства подвесных мостов, в которых мостовое полотно подвешено на искривлённом несущем кабеле с помощью вертикальных подвесок.

При рассмотрении модели моста считайте, что:

• Мост имеет два несущих кабеля, и механическое напряжение распределено на каждом из них одинаково. Масса кабелей намного меньше массы мостового полотна, масса которого на единицу длины равна $\lambda$. 
• В пунктах a—c (но не в d!) пренебрегайте массой подвесок.
• Мостовое полотно поддерживается равномерно по всей длине с помощью большого числа подвесок. Расстояние между соседними подвесками много меньше длины моста.
• Мостовое полотно горизонтально. 
• Несущий кабель натянут по всей длине между опорами моста. 
• Нижняя точка несущего кабеля находится на той же высоте, что и мостовое полотно.

Ответьте на следующие вопросы.

a  ^3.00 Запишите уравнение $y(x)$, описывающее форму несущего кабеля. Ваш ответ может содержать три константы, которые не обязательно вычислять в этом пункте.

Пусть обе опоры моста имеют высоту $h$ (относительно поверхности мостового полотна), а расстояние между опорами равно $L$.

b  ^2.00 Принимая вертикальный уровень мостового полотна за $y=0$, а его середину — на $x=0$, найдите форму несущего кабеля $y(x)$, выразив ответ только через $L$ и $h$.

c  ^2.50 Найдите наибольшую силу натяжения несущего кабеля, выразив ответ через высоту моста $h$, его длину $L$, массу мостового полотна на единицу длины $\lambda$ и ускорение свободного падения $g$. В какой точке достигается наибольшая сила натяжения кабеля? Нарисуйте график наибольшей силы натяжения в зависимости от $h$ при постоянном $L$. При какой высоте опор $h_\text{max}$ эта величина достигает максимума, а при какой высоте $h_\text{min}$ — минимума?

В предыдущих пунктах мы пренебрегали массой подвесок по сравнению с массой мостового полотна. Однако, в результате реконструкции моста подвески заменили, так что их массой больше нельзя пренебречь. Новые подвески представляют собой жёсткие металлические стержни, поэтому форма несущего кабеля остаётся той же, что и в предыдущих пунктах. Пусть число подвесок на единицу длины моста равно $n$, а масса каждой подвески на единицу её длины равна $w\ll\lambda$.

d  ^2.50 Чему теперь будет равна наибольшая сила натяжения несущего кабеля? При какой высоте опор $h_\text{min}^\text{new}$ эта величина минимизируется при заданном $L$?