a  ^3.00 Запишите уравнение $y(x)$, описывающее форму несущего кабеля. Ваш ответ может содержать три константы, которые не обязательно вычислять в этом пункте.

a. 1 Записано $2T\cos\phi=2T_0$, где $T_0$ — сила натяжения в точке $x_0$, где кабель горизонтален, а $\phi$ — угол между кабелем и горизонтом	0.60
a. 2 Записано $2T\sin\phi=\lambda g(x-x_0)$	0.80
a. 3 $\implies \cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\cfrac{\lambda g}{2T_0}(x-x_0)$	0.80
a. 4 Окончательный ответ $y(x)=A(x-x_0)^2+B$	0.80

b  ^2.00 Принимая вертикальный уровень мостового полотна за $y=0$, а его середину — на $x=0$, найдите форму несущего кабеля $y(x)$, выразив ответ только через $L$ и $h$.

b. 1 $x_0=0$, $B=0$	0.50
b. 2 На концах моста $h=AL^2/4$	0.70
b. 3 Окончательный ответ $y(x)=4hx^2/L^2$	0.80

c  ^2.50 Найдите наибольшую силу натяжения несущего кабеля, выразив ответ через высоту моста $h$, его длину $L$, массу мостового полотна на единицу длины $\lambda$ и ускорение свободного падения $g$. В какой точке достигается наибольшая сила натяжения кабеля? Нарисуйте график наибольшей силы натяжения в зависимости от $h$ при постоянном $L$. При какой высоте опор $h_\text{max}$ эта величина достигает максимума, а при какой высоте $h_\text{min}$ — минимума?

c. 1 Найдена сила натяжения в центре $T_0=\lambda gL^2/16h$	0.30
c. 2 Получено $T^2=T_0^2+(\lambda gx)^2/4$	0.60
c. 3 $\implies T_\max=\cfrac{\lambda g L}{4} \sqrt{\left(\cfrac{L}{4 h}\right)^2+1}$	0.40
c. 4 Качественный график	0.40
c. 5 $h_\min\to+\infty$	0.40
c. 6 $h_\max=0$	0.40

d  ^2.50 Чему теперь будет равна наибольшая сила натяжения несущего кабеля? При какой высоте опор $h_\text{min}^\text{new}$ эта величина минимизируется при заданном $L$?

d. 1 Дополнительная сила тяжести между $0$ и $x > 0$ равна $G=\cfrac{4wngh}{3L^2}x^3$	0.60
d. 2 Новая сила натяжения $T=\cfrac{\lambda g}{2} \sqrt{\left(\cfrac{L^2}{8 h}\right)^2+x^2}\left(1+\cfrac{4 h w n}{3 \lambda L^2} x^2\right)$	0.60
d. 3 $\implies T_{\max }=\cfrac{\lambda g L}{4} \sqrt{\left(\cfrac{L}{4 h}\right)^2+1}\left(1+\cfrac{h w n}{3 \lambda}\right)$	0.30
d. 4 $h^\text{new}_\min\quad\Leftrightarrow\quad\cfrac{\partial T_\max}{\partial h}=0$	0.30
d. 5 $h_{\mathrm{min}}^{\mathrm{new}}=\cfrac{1}{2}\left(\cfrac{3 \lambda L^2}{2 n w}\right)^{1 / 3}$	0.70