| 1 M1 Записан закон сохранения механической энергии: $$\cfrac{mv^2}{2}=-\Delta{W}_p{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 M1 Определена величина $\Delta{W}_p$: $$\Delta{W}_p=-\lambda gx^2{.} $$ | 0.60 |
|
| 3 M1 Получен ответ для скорости $v$: $$v=x\sqrt{\cfrac{2g}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}}{.} $$ | 0.40 |
|
| 4 M1 Получен ответ для ускорения $a$: $$a=\cfrac{2gx}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}{.} $$ | 0.40 |
|
| 5 M2 Записаны уравнения движения для участков верёвки (по $0{.}2$ балла за каждое): $$\lambda(L_1+x)a=\lambda(L_1+x)g-T_1\qquad \lambda La=T_1-T_2+\lambda gL\sin\alpha\qquad \lambda (L_2-x)a=T_2-\lambda (L_2-x)g{.} $$ | 3 × 0.20 |
|
| 6 M2 Получен ответ для ускорения $a$: $$a=\cfrac{2gx}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}{.} $$ | 0.30 |
|
| 7 M2 Идея умножения ускорения $a$ на скорость $v$ и последующего интегрирования $$ $$ | 0.30 |
|
| 8 M2 Получен ответ для скорости $v$: $$v=x\sqrt{\cfrac{2g}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}}{.} $$ | 0.30 |
|
| 1 Указано, что натяжение верёвки постоянно при $a=g\sin\alpha$. | 0.40 |
|
| 2 Получен ответ для $x_1$: $$x_1=L_1\sin\alpha+\cfrac{L\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{2}\qquad L_2=L_1+L\sin\alpha{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Сделан вывод, что величина $x_1$ всегда меньше $L_2$. | 0.20 |
|
| 1 Записаны уравнения движения левого и правого участков верёвки (по $0{.}4$ балла за каждое): $$\lambda(L_1+x)g-T_1=\lambda(L_1+x)a\qquad T_2-\lambda(L_2-x)g=\lambda(L_2-x)a{.} $$ | 2 × 0.40 |
|
| 2 Указано или следует из решения связь $T_1{>}T_2$ при $x\geq{x_1}$. | 0.20 |
|
| 3 Получен ответ для $T_{max}$: $$T_{max}=\begin{cases} \cfrac{\lambda g(L_1+x)(2L_1+L(1+\sin\alpha)-2x)}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}\quad \text{при}\quad x\geq L_1\sin\alpha+\cfrac{L\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{2}\\ \cfrac{\lambda g(L_1+L\sin\alpha-x)(2L_1+L(1+\sin\alpha)+2x)}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}\quad \text{при}\quad x\leq L_1\sin\alpha+\cfrac{L\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{2} \end{cases} $$ | 0.50 |
|
| 0 Приведён рисунок и силами, действующими на малый участок нити. | 0.20 |
|
| 2 Учтено центростремительное ускорение $a_n=v^2/R$ элемента верёвки. | 0.30 |
|
| 3 Показано, что силой тяжести, действующей на верёвку, можно пренебречь в силу малости радиуса блока | 0.30 |
|
| 4 Показано, что верёвка теряет контакт с блоками при условии: $$T=\lambda v^2{.} $$ | 0.30 |
|
|
5
Получено уравнение относительно $x_{max(1)}$: $$\cfrac{\lambda g(L_1+x_1)(2L_1+L(1+\sin\alpha)-2x_1)}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}=\cfrac{2\lambda gx^2_1}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}{.} $$ Примечание: Пункт оценивается, даже если коэффициент, связывающий $T$ и $\lambda v^2$, отличен от $1$. |
0.20 |
|
| 6 Получен ответ для $x_{max(1)}$: $$x_{max(1)}=\cfrac{L(1+\sin\alpha)}{8}+\sqrt{\left(\cfrac{L(1+\sin\alpha)}{8}\right)^2+\cfrac{L_1(2L_1+L(1+\sin\alpha))}{4}}{.} $$ | 0.50 |
|
|
7
Получено уравнение относительно $x_{max(2)}$: $$\cfrac{\lambda g(L_1+L\sin\alpha-x_2)(2L_1+L(1+\sin\alpha)+2x_2)}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}=\cfrac{2\lambda gx^2_2}{2L_1+L(1+\sin\alpha)}{,} $$ Примечание: Пункт оценивается, даже если коэффициент, связывающий $T$ и $\lambda v^2$, отличен от $1$. |
0.20 |
|
| 8 Получен ответ для $x_{max(2)}$: $$x_{max(2)}=-\cfrac{L(1-\sin\alpha)}{8}+\sqrt{\left(\cfrac{L(1-\sin\alpha)}{8}\right)^2+\cfrac{(L_1+L\sin\alpha)(2L_1+L(1+\sin\alpha))}{4}}{.} $$ | 0.50 |
|
| 1 Рассчитаны значения $x_{max(1)}$ и $x_{max(2)}$ для каждого из углов (по $0{.}1$ балла за каждое): | 6 × 0.10 |
|
||||||||||||
2
|
|
|||||||||||||
| 3 Верно определён номер блока, с которым верёвка в первую очередь теряет контакт (по $0{.}05$ балла за каждый угол). | 3 × 0.05 |
|
||||||||||||
| 4 Рассчитаны скорости $v_1$, $v_2$ и $v_3$ (по $0{.}15$ балла за каждую): $$v_1=2{.}068~\text{м}/\text{с}\qquad v_2=2{.}264~\text{м}/\text{с}\qquad v_3=2{.}314~\text{м}/\text{с}{.} $$ | 3 × 0.15 |
|
| 1 Записаны условия равновесия для трёх участков верёвки: $$T_1=\lambda g(L_1+x_0)+mg\qquad T_2-T_1=\lambda gL\sin\alpha\qquad T_2=\lambda g(L_2-x_0)+F_\text{упр}{.} $$ | 3 × 0.10 |
|
| 2 Получено соотношение: $$F_\text{упр}=mg+2\lambda gx_0{.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Получен ответ: $$x_0=\cfrac{mg-F_0}{k-2\lambda g} $$ Если ответ получен без обоснований и промежуточных выкладок – он не оценивается. | 0.20 |
|
| 1 Указано, что величина $x_0$ должна быть положительной. | 0.10 |
|
| 2 Получено ограничение: $$k{>}2\lambda g $$ | 0.20 |
|
| 3 Указано, что величина $x_0$ должна быть меньше $L_2$. | 0.20 |
|
| 4 Получен ответ для $k_{min}$: $$k_{min}=2\lambda g+\cfrac{mg-F_0}{L_1+L\sin\alpha}{.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Определена величина $\Delta{W}_{p(\text{г})}$: $$\Delta{W}_{p(\text{г})}=-mgx $$ | 0.10 |
|
| 2 Определена величина $\Delta{W}_{p(\text{в})}$: $$\Delta{W}_{p(\text{в})}=-\lambda gx^2 $$ | 0.20 |
|
| 3 Определена величина $\Delta{W}_{p(\text{деф})}$: $$\Delta{W}_{p(\text{деф})}=F_0x+\cfrac{kx^2}{2} $$ | 0.40 |
|
| 4 Получен ответ для $\Delta{W}_p$: $$\Delta{W}_p=\cfrac{(k-2\lambda g)x^2}{2}-(mg-F_0)x{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Указано, что $B=x_0$. | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ для $A$: $$A=k-2\lambda g $$ | 0.30 |
|
| 3 Получен ответ для $B$: $$B=\cfrac{mg-F_0}{k-2\lambda g} $$ | 0.30 |
|
| 1 Записан закон сохранения механической энергии: $$\cfrac{(m+\lambda(2L_1+L(1+\sin\alpha))v^2_{max}}{2}=\cfrac{Ax^2_0}{2} $$ Пункт оценивается, даже если не учтена какая–либо из масс. | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ для $v_{max}$: $$v_{max}=\cfrac{mg-F_0}{k-2\lambda g}\sqrt{\cfrac{k-2\lambda g}{m+\lambda(2L_1+L(1+\sin\alpha)}} $$ | 0.10 |
|
| 3 Записано условие равенства потенциальных энергий в положениях остановки: $$\cfrac{A(x_{max}-x_0)^2}{2}=\cfrac{Ax^2_0}{2} $$ | 0.20 |
|
| 4 Получен ответ для $x_{max}$: $$x_{max}=\cfrac{2(mg-F_0)}{k-2\lambda g}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Указано, что при минимально возможной скорости груз останавливается при смещении, равном $L_2$. | 0.20 |
|
| 2 Записан закон сохранения механической энергии для момента остановки груза: $$\cfrac{A(L_2-x_0)^2}{2}=\cfrac{Ax^2_0}{2}+\cfrac{(m+\lambda(2L_1+L(1+\sin\alpha))v^2_{min}}{2} $$ Пункт оценивается, даже если не учтена какая–либо из масс. | 0.40 |
|
| 3 Получен ответ для $v_{min}$: $$v_{min}=\sqrt{\cfrac{k-2\lambda g}{m+\lambda(2L_1+L(1+\sin\alpha)}(L_1+L\sin\alpha)\left(L_1+L\sin\alpha-\cfrac{2(mg-F_0)}{k-2\lambda g}\right)} $$ | 0.40 |
|