Так как нить нерастяжима и натянута, то скорость шайбы всегда перпендикулярна нити. Поэтому сила натяжения нити работы не совершает и скорость шайбы остаётся постоянной по модулю $$ v=\operatorname{const}. \tag{1} $$ Шайба движется по траектории с радиусом кривизны, равным длине не намотанной нити $l$, поэтому условие разрыва нити находится из второго закона Ньютона $$T=m\frac{v^2}{l}. \tag{2}$$ Длина нити изменяется в результате наматывания на цилиндр на величину $$\mathrm dl=-R\,\mathrm d\alpha, \tag{3}$$ где $$\mathrm d\alpha=\omega \,\mathrm dt, \tag{4}$$ а угловая скорость вращения нити равна $$\omega=\frac{v}{l}. \tag{5}$$ Из уравнений $(3)$–$(5)$ следует, что $$l\, \mathrm dl=-Rv\,\mathrm dt, \tag{6}$$ а его интегрирование дает $$l^2-l^2_0=-2R vt. \tag{7}$$ Подставляя $(1)$ в $(7)$, получаем искомое время $$t=\frac{l_0^2-\left(\frac{mv^2}{T}\right)^2}{2Rv}=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. \tag{8}$$