При погружении пробирки на глубину $x$ на нее действует выталкивающая сила Архимеда и сила тяжести. Поэтому уравнение второго закона Ньютона для трубки имеет вид
$$ma=mg-\rho S_0(h_0+x)g. \tag{1}$$Здесь $m$ — масса пробирки, $\rho$ — плотность воды.
В положении равновесия выполняется условие
$$mg=\rho S_0H_0g. \tag{2}$$Из этих уравнений следует, что
$$a=-\frac{g}{h_0}x. \tag{3}$$Это есть уравнение гармонических колебаний с периодом
$$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}. \tag{4}$$

При опускании пробирки на глубину $x$ ее потенциальная энергия уменьшается на величину
$$\Delta U_1=-mgx. \tag{5}$$Если пробирка опустится на величину $x$, то уровень воды в сосуде поднимется на высоту, которая удовлетворяет условию (условие постоянства объема воды):
$$S_0 x=(S-S_0)y \Rightarrow y=\frac{S_0}{S-S_0}x. \tag{6}$$Следовательно, вода, которая находилась под пробиркой, поднимется выше первоначального уровня воды в сосуде. Масса этой воды
$$\Delta m=\rho S_0 x, \tag{7}$$Ее центр масс поднимется на высоту
$$\Delta h_C=h_0+\frac{1}{2}(x+y)=h_0+\frac{1}{2}\left(x+\frac{S_0}{S-S_0}x\right)=h_0+\frac{1}{2}\frac{S}{S-S_0}x. \tag{8}$$Изменение потенциальной энергии воды
$$\Delta U_2=\Delta m g\Delta h_C=\rho S_0 xg\left(h_0+\frac{1}{2}\frac{S}{S-S_0}x\right). \tag{9}$$Полное изменение потенциальной энергии (с учетом соотношения $(2)$):
$$\Delta U=\Delta U_1+\Delta U_2=\frac{1}{2}\frac{S_0 S}{S-S_0}\rho gx^2. \tag{10}$$

Если пробирка опускается со скоростью $v_0$, то воды между стенками и пробиркой поднимается со скоростью
$$v_0S_0=v(S-S_0) \Rightarrow v=\frac{S_0}{S-S_0}v_0. \tag{11}$$Масса поднимающейся воды равна
$$m_1=\rho(S-S_0)h_0. \tag{12}$$Полная кинетическая энергия пробирки и поднимающейся воды оказывается равной
$$K=\frac{mv_0^2}{2}+\frac{m_1v^2}{2}=\rho S_0 H_0\frac{v_0^2}{2}+\rho(S-S_0)h_0\frac{1}{2}\left(\frac{S_0}{S-S_0}v_0\right)^2=\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho h_0v_0^2. \tag{13}$$