1.1  ^0.30 Выведите формулу для ускорения, с которым будет скатываться диск в зависимости от угла наклона $\alpha$. Считайте диск однородным, массой палочки можно пренебречь.

1.2  ^?? Исследуйте экспериментально закон движения, то есть зависимость координаты оси диска $x(t)$ вдоль нити от времени $t$, при его скатывании по нитям. Постройте график полученной зависимости. Докажите, что движение оси диска является примерно равноускоренным. Рассчитайте ускорение оси диска. Укажите, при каком угле наклона вы проводили измерения.

Для изменения и измерения угла наклона нитей необходимо смещать по стержню штатива один из держателей на высоту $h$. Поэтому синус угла наклона рассчитывается по формуле
\begin{equation}
\sin \alpha =\frac{h}{L} ,
\end{equation}
где $L$ — длина нитей (в наших экспериментах $L=70~\text{см}$).

В данной части измерения проведены при $h=3.0~\text{см}$. На нитки необходимо нанести метки через равные интервалы и фиксировать с помощью секундомера время прохождения. Трудность заключается в том, что на практике трудно отпустить диск с первой метки без начального толчка, поэтому первая метка используется как начало отсчета, но скорость диска в ней не нулевая! Зависимость координаты оси диска от времени приведена в Таблице 1 и показана на рисунке.

Закон равноускоренного движения имеет вид
\begin{equation}
x\left(t\right)=v_{0} t+\frac{at^{2} }{2} .
\end{equation}

Для линеаризации можно использовать различные методы, но предпочтительной является следующая:
\begin{equation}
\frac{x}{t} =v_{0} +\frac{a}{2} t.
\end{equation}

На рис. 2 показан график зависимости величины $\cfrac{x}{t} $ (имеющей смысл средней скорости) от времени $t$.

Примерная линейность данной зависимости доказывает, что экспериментальный закон движения может быть описан выбранной функцией.

Ускорение оси диска равно удвоенному значению коэффициента наклона данного графика, оно равно по методу наименьших квадратов
\begin{equation}
a=0,081~\text{см/с}^2.
\end{equation}

1.3  ^?? Измерьте зависимость ускорения оси диска от угла наклона нитей $\alpha$. Постройте график полученной зависимости.

Аналогичные измерения проведены и для других значений угла наклона нитей. Их результаты приведены в таблице 2.

На рисунке 3 показаны графики зависимостей $\cfrac{x}{t} $ от времени $t$, использованные для расчета экспериментальных значений ускорений.

В Таблице 3 приведены значения ускорений, рассчитанных по коэффициентам наклона графиков и теоретические значения, рассчитанные по формуле п. 2. При расчетах приняты следующие измеренные значения диаметр диска $D=85~\text{мм}$. $d=3.0~\text{мм}$ — диаметр палочки. На рисунке ниже показаны графики зависимостей ускорений от угла наклона нитей.

1.4  ^?? На том же графике постройте теоретическую зависимость ускорения от угла наклона нитей $\alpha$. Приведите результаты дополнительных измерений, которые вам понадобились для расчета ускорений.

2.1  ^?? Исследуйте закон движения оси диска при его движении вниз. Постройте график полученной зависимости.

В данном случае время движения оказывается малым, поэтому измерения следует проводить для каждого значения координаты неоднократно. В Таблице 4 показаны результаты измерений времени прохождения расстояния $x$, усредненные по 3 измерениям. На рис. 5 показан график полученной зависимости.

Для расчета ускорения используем прежнюю методику: строим зависимость $\frac{x}{t} $ от $t$ и находим параметры линеаризованной зависимости.

Расчеты по методу наименьших квадратов дают следующие значения коэффициентов зависимости $\frac{x}{t} =Kt+b$:

\[\begin{array}{l} {K=\left(1.30\pm 0.07\right)~\text{см/с}^2} \\ {b=\left(-0.40\pm 0.3\right)~\text{см/с} } \end{array}\]

Тогда ускорение оси диска
\begin{equation}
a=\left(2.60\pm 0.13\right)~\text{см/с}^2 .
\end{equation}

2.2  ^?? По данным измерений рассчитайте ускорение, с которым опускается ось диска. Оцените погрешность найденного значения ускорения.

2.3  ^?? Получите теоретическую формулу для ускорения оси диска. Рассчитайте теоретическое значение ускорения, с которым опускается ось диска.

Формула для ускорения автоматически получается из формулы п. 2, в которой следует положить $\sin \alpha =1$:
\begin{equation}
a=\frac{g}{1+\frac{1}{2} \left(\frac{r}{R} \right)^{2} } .
\end{equation}

Расчет по этой формуле дает значение $a=2.44~\text{см/с}^2 $.

3.1  ^?? Соберите установку таким образом, чтобы диск, раскручиваясь, поднимался вверх. Покажите схематически на рисунке как должны быть намотаны нити на палочке.

3.2  ^?? Измерьте ускорения оси диска при разных массах подвешенных грузов.

В данном случае легко регистрируется начало движение оси диска, поэтому можно просто измерить время подъема на фиксированную высоту и рассчитать ускорение по формуле:
\begin{equation}
H=\frac{at^{2} }{2} \quad \Rightarrow \quad a=\frac{2H}{t^{2} } .
\end{equation}
В ходе измерений были получены значения, представленные в Таблице 5 (при $H=12~\text{см}$).