Logo
Logo

Скин-эффект

Разбалловка

--  ?? В любой момент времени наблюдатель в аудитории может подойти к вам и проверить, включен ли датчик Холла. Если вы при этом не проводите измерения, наблюдатель вправе поставить специальную пометку в ваших листах ответов. За каждую пометку вы получаете штраф в 1 балл. Количество пометок не ограничено.

--. 1 None
A0  0,20 Зная, что проводимость материала трубки имеет порядок $\sigma\sim 5 \cdot 10^{7}~См$ (Сименс, единица СИ), оцените частоту $f_0$, при которой характерная толщина скин-слоя будет равна $h\sim1~мм$.

A0. 1 Получена верная формула $f_0 = \cfrac{1}{\pi \mu_0 \sigma h^2}$ 0,10
A0. 2 Получена верная числовая оценка $f_0 \sim 5~кГц$ 0,10
A1  0,50 В случае большой толщины скин-слоя ($ah/\delta^2\ll1$) получите упрощённую формулу для квадрата модуля отношения полей внутри катушки без трубки и с ней. Предложите линеаризацию, позволяющую найти проводимость материала трубки по отношению полей, если известна её толщина.

A1. 1 Гиперболические функции верно разложены в ряд до порядка $(\alpha h)^2$ 0,20
A1. 2 Верно найден квадрат модуля отношения $\left|\cfrac{H_0}{H_1}\right|^2$ 0,10
A1. 3 Предложена верная линеаризация $\left|\cfrac{H_0}{H_1}\right|^2 (f) = 1 + \pi^2\mu_0^2\sigma^2a^2h^2f^2$ 0,20
A2  0,50 Предложите схему установки, позволяющую определить отношение амплитуд $H_0/H_1$ при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

A2. 1 M1 Используется датчик Холла для измерения амплитуд напряженностей в катушке с трубкой и без 0,30
A2. 2 M2 Используется датчик Холла для измерения амплитуды $H_1$ напряженности в катушке с трубкой, а напряженность без трубки $H_0$ измеряется осциллографом на встроенном в корпус катушки резисторе $r$ (не на самой катушке!) 0,30
A2. 3 Показания датчика Холла считываются с осциллографа (а не мультиметра) 0,10
A2. 4 Описано (или указано на рисунке) в каком положении датчика относительно трубки проводятся измерения (например, в положении максимума амплитуды) 0,10
A3  1,00 Снимите экспериментальные точки зависимости $\left[H_0/H_1\right](f)$.

A3. 1 Снята зависимость $\left|\cfrac{H_0}{H_1}\right|(f)$ в диапазоне до $5~кГц$ 10 × 0,10
A4  0,80 Линеаризуйте зависимость и постройте график. Отсюда определите проводимость $\sigma$ исследуемого материала. Оцените графически погрешность полученного результата.

A4. 1 Все экспериментальные точки пересчитаны с учетом линеаризации 10 × 0,02
A4. 2 На графике отмечены все точки 10 × 0,02
A4. 3 Оси подписаны, оцифрованы, выбран верный масштаб 3 × 0,05
A4. 4 Проведена фитирующая прямая 0,10
A4. 5 Из углового коэффициента прямой получено значение $\sigma \in[40;60]~МСм$ 0,10
A4. 6 Найдена погрешность $\sigma$ из графика 0,05
B1  0,50 Упростив выражение для отношения комплексных амплитуд поля внутри и вне трубки, получите выражение для тангенса разности фаз $\operatorname{tg}\psi$ полей внутри и снаружи трубки в случае $h\ll\delta\ll a$.

B1. 1 Верное разложение в ряд $\cfrac{H_0}{H_1} \approx 1 + i \pi f \sigma \mu_0 ah$ 0,40
B1. 2 Получено верное выражение для тангенса $\operatorname{tg} \psi = \pi f \sigma \mu_0 ah$ 0,10
B2  0,50 Предложите схему установки, позволяющую определить тангенс разности фаз $\operatorname{tg}\psi$ между током в катушке и полем внутри трубки при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

B2. 1 Использован датчик Холла для измерения амплитуды напряженности поля внутри трубки 0,10
B2. 2 С помощью второго канала осциллографа измерено напряжение на резисторе $1~Ом$, встроенном в корпус катушки (не напряжение на самой катушке!) 0,20
B2. 3 Указана формула пересчета показаний осциллографа в сдвиг фазы (например $\psi = 2\pi \cfrac{t_{сдвиг}}{T}$) 0,20
B3  1,00 Снимите зависимость тангенса сдвига фаз от частоты $\operatorname{tg}\psi(f)$.

B3. 1 Снята зависимость $\operatorname{tg}\psi (f)$ до $5~кГц$ 10 × 0,10
B4  0,50 Постройте график этой зависимости для линейного участка. Отсюда определите проводимость материала трубки $\sigma$. Оцените графически погрешность вашего результата.

B4. 1 По отмеченным на графике точкам проведена фитирующая прямая 0,10
B4. 2 Оси графика подписаны и оцифрованы, выбран верный масштаб 3 × 0,05
B4. 3 Из углового коэффициента прямой получено значение $\sigma \in[55;65]~МСм$ 0,20
B4. 4 Найдена погрешность $\sigma$ из графика 0,05
B5  0,50 Найдите, при какой частоте $f_{cr}$ экспериментальное значение $\operatorname{tg}\psi$ впервые окажется в $2$ раза больше теоретического. Найдите теоретически толщину скин-слоя $\delta_{cr}$ при этой частоте. Определите отношение $\delta_{cr}/h$. Оно является универсальной величиной и понадобится в части E.

B5. 1 Из графика или пересчетом найдена $f_{cr} \sim 4000-7000~Гц$ 0,30
B5. 2 Произведен верный пересчет полученной $f_{cr}$ в $\delta_{cr}$ 0,10
B5. 3 Получено значение $\cfrac{\delta_{cr}}{h} \sim 1.3-1.7$ 0,10
C1  0,30 Измерьте как можно точнее сопротивления между контактами $r_{12}$, $r_{23}$ и $r_{13}$.

C1. 2 Измерены $r_{12} \sim 11~Ом, r_{23} \sim 1~Ом, r_{13} \sim 12~Ом$ 3 × 0,10
C2  0,50 Определите сопротивление контактов $r_к$, а также реальные сопротивления катушки $R$ и резистора $r$.

C2. 1 Указано верное выражение для $r_{к} = \cfrac{1}{2}(r_{12} + r_{23} - r_{13})$ 0,10
C2. 2 Получены численные значения $r_{к} < 0.1~Ом, R \sim 11~Ом, r \sim 1~Ом$ 3 × 0,10
C2. 3 Указано, что $r_{к}$ можно пренебречь 0,10
C3  0,70 Предложите схему установки, позволяющую определить индуктивность катушки $L$ при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

C3. 1 С помощью осциллографа снимается напряжение $u$ на резисторе $r$ 0,30
C3. 2 С помощью второго канала осциллографа снимается суммарное напряжение $V$ на катушке и резисторе $r$ (земля двух каналов должна быть общей) 0,30
C3. 4 Трубка вставлена в катушку (можно понять если индуктивность $L$ меняется значительно) 0,10
C4  2,50 Сняв необходимые экспериментальные точки, получите зависимость $L(f)$. Определите $L_{\min}$ и $L_{\max}$. Линеаризовав эту зависимость и построив график, найдите проводимость меди. Оцените графически погрешность полученного результата.

C4. 1 Сняты зависимости $u(f)$ и $V(f)$ (пара значений $(u, V)$ это одна точка) при $f < 5~кГц$ 15 × 0,04
C4. 2 Получена формула для индуктивности катушки через измеряемые величины $L = \cfrac{r}{2\pi f}\sqrt{\left(\cfrac{V}{u}\right)^2 - \left(1+\cfrac{R}{r}\right)^2}$ 0,20
C4. 3 Произведен пересчет в $L(f)$ по верной формуле 15 × 0,02
C4. 4 Найдено значение $L_{max}$ (из соображений $f \rightarrow 0~$или для $f \leq 100~Гц)$ 0,10
C4. 5 Найдено значение $L_{min}$ (при $f \sim 5-10~кГц$) 0,10
C4. 6 Произведен верный пересчет для линеаризации $\cfrac{L_{max}-L}{L-L_{min}}(f^2)$ или аналогичной 15 × 0,02
C4. 7 Построен линейный график 0,20
C4. 8 Оси подписаны, оцифрованы, выбран верный масштаб 3 × 0,10
C4. 9 Из углового коэффициента прямой получено значение $\sigma \in[55;65]~МСм$ 0,30
C4. 10 Найдена погрешность $\sigma$ из графика 0,10
D1  0,50 Предложите схему установки, позволяющую измерить сопротивление с учётом указанных выше данных.

Указание: Поскольку сопротивление зависит от частоты, измерение ширины резонансного пика в общем случае может быть затруднительно.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

D1. 1 Генератор подключен параллельно к трубке 0,20
D1. 2 Один из каналов осциллографа подключен параллельно к конденсатору 0,20
D1. 3 Второй канал осциллографа подключен параллельно генератору 0,10
D2  0,50 Реальные ёмкости конденсаторов немного отличаются от указанных на них значений. Измерьте их выданным мультиметром и запишите реальные значения $C_{real}$ ёмкости в таблицу в листе ответов.

D2. 1 Измерены ёмкости всех конденсаторов 10 × 0,05
D3  2,00 Найдите добротность $Q$ и резонансную частоту $f_{res}$ для всех номиналов используемых конденсаторов.

D3. 1 Измерены резонансные частоты $f_{res}(С)$ для всех номиналов конденсаторов 10 × 0,04
D3. 2 Добротность $Q$ выражена через измеряемые величины (например $Q = \cfrac{V_C}{V_R})$ 0,40
D3. 3 Использована формула $Q = \cfrac{\omega}{\Delta \omega}$ без поправки на зависимость сопротивления от частоты -0,30
D3. 4 Измерены $V_C(С)$ и $V_R(С)$ (пара $(V_C, V_R)$ считается одной точкой) или эквивалентные 10 × 0,08
D3. 5 По измеренным точкам пересчитана зависимость $Q(С)$ 10 × 0,04
D4  1,00 По измеренной резонансной частоте рассчитайте эквивалентную ёмкость $C_{eq}$, включенную в цепь. Линеаризовав зависимость $C_{eq}(C_{real})$ и построив график, найдите «паразитную ёмкость» осциллографа $C_{osc}$.

D4. 1 Вычислены эквивалентные ёмкости по формуле $C_{eq} = \cfrac{1}{\omega_{res}^2L}$ 10 × 0,02
D4. 2 Предложена модель параллельного соединения паразитной ёмкости и соответствующая линеаризация $C_{eq}(C) = C + C_{osc}$ 0,20
D4. 3 Построен линейный график $C_{eq}(C)$ 0,20
D4. 4 Оси подписаны, оцифрованы, выбран верный масштаб 3 × 0,05
D4. 5 Из свободного члена построенной прямой вычислена паразитная ёмкость $C_{osc} \approx 100-200~пФ$ 0,25
D5  1,50 Предложите линеаризацию, позволяющую найти проводимость. Постройте график и найдите значение $\sigma$. Графически оцените погрешность полученного результата.

D5. 1 Предложена линеаризация $R(f) = \cfrac{1}{\sigma}\cfrac{l}{2\pi a \delta} = \cfrac{l}{2a}\sqrt{\cfrac{\mu_0 f}{\pi \sigma}}$ 0,10
D5. 2 Получено выражение для добротности, напрямую не зависящее от $C$: $Q = \cfrac{2\pi f_{res}L}{R}$ 0,10
D5. 3 Произведен пересчет добротностей $Q$ в сопротивления $R$ (только при наличии баллов за D5.2) 10 × 0,08
D5. 4 Построен линеаризованный график $R(\sqrt{f})$ 0,10
D5. 5 Оси подписаны, оцифрованы, выбран верный масштаб 3 × 0,05
D5. 6 Из углового коэффициента найдено значение $\sigma \ll 50~МСм$ 0,20
D5. 7 Найдена погрешность $\sigma$ из графика 0,05
D6  0,50 Укажите возможную причину такого результата. Обоснуйте свой ответ количественными оценками.

D6. 1 Различие экспериментальных данных с теоретическими объясняется скин-эффектом во всех проводах установки 0,30
D6. 2 Приведена верная количественная оценка (например оценка геометрического фактора $\cfrac{L}{a}$ для проводов установки) 0,20
E1  1,80 Методом, описанным в части A, определите толщину трубки и её проводимость. Величину $\delta_{cr}/h$ возьмите из A. Графически оцените погрешность вашего результата.

E1. 1 1,80
E2  1,80 Методом, описанным в части B, определите толщину трубки и её проводимость. Величину $\delta_{cr}/h$ возьмите из B5. Графически оцените погрешность вашего результата.

Какой из методов, по вашему, точнее?

E2. 1 Снята зависимость $\operatorname{tg} \psi (f)$ для черного ящика 10 × 0,10
E2. 2 Из линеаризованного графика получено значение $\sigma \in[30;100]~МСм$ 0,30
E2. 3 Найдена погрешность $\sigma$ из графика 0,10
E2. 4 Из критической частоты $f_{cr}$ получено значение толщины трубки $h \in~[0.3;1.0]~мм$ 0,30
E2. 5 Найдена погрешность $h$ из графика 0,10
E3  0,40 Определите материал трубки. Используя его табличное значение $\sigma$, уточните результат для толщины трубки.

E3. 1 Правильно определен материал трубки — алюминий 0,20
E3. 2 Получено уточненное значение толщины трубки $h_{ex} \sim 0.5-1.5~мм$ 0,20