Logo
Logo

Скин-эффект

--  ?? В любой момент времени наблюдатель в аудитории может подойти к вам и проверить, включен ли датчик Холла. Если вы при этом не проводите измерения, наблюдатель вправе поставить специальную пометку в ваших листах ответов. За каждую пометку вы получаете штраф в 1 балл. Количество пометок не ограничено.

A0  0,20 Зная, что проводимость материала трубки имеет порядок $\sigma\sim 5 \cdot 10^{7}~См$ (Сименс, единица СИ), оцените частоту $f_0$, при которой характерная толщина скин-слоя будет равна $h\sim1~мм$.

Ответ: \[f_0=\frac{1}{\pi\mu_0\sigma h^2}\sim8~кГц\]

A1  0,50 В случае большой толщины скин-слоя ($ah/\delta^2\ll1$) получите упрощённую формулу для квадрата модуля отношения полей внутри катушки без трубки и с ней. Предложите линеаризацию, позволяющую найти проводимость материала трубки по отношению полей, если известна её толщина.

Ответ: Квадрат отношения амплитуд поля:\[\left[\frac{H_0}{H_1}\right]^2=\left|\operatorname{ch}\alpha h+\frac12\alpha a\operatorname{sh}\alpha h\right|^2\approx\left|1+\frac12\alpha^2ah\right|^2=\left|1+i\pi f\sigma\mu_0 ah\right|^2=1+\pi^2f^2\sigma^2\mu_0^2a^2h^2.\]Таким образом, удобная линеаризация — это $\left[\frac{H_0}{H_1}\right]^2\left(f^2\right)$, её угловой коэффициент равен $k=\pi^2\mu_0^2a^2h^2\sigma^2$.

A2  0,50 Предложите схему установки, позволяющую определить отношение амплитуд $H_0/H_1$ при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

Ответ:

A3  1,00 Снимите экспериментальные точки зависимости $\left[H_0/H_1\right](f)$.

Учитывая значение $f_0\sim5~кГц$, будем измерять отношение полей на частотах от $100~Гц$ до $1200~Гц$. Занесём точки в таблицу:

$f,$ Гц$U_0,$ мВ$U_{тр}$, мВ$\left(\cfrac{U_0}{U_{тр}}\right)^2$$f^2, Гц^2$$f,$ Гц$U_0,$ мВ$U_{тр}$, мВ$\left(\cfrac{U_0}{U_{тр}}\right)^2$$f^2, Гц^2$
1002162101,061000010001861661,261000000
2002122081,044000011001811621,251210000
3002102021,089000012001791541,351440000
4002091981,1116000013001741481,381690000
5002061961,1025000014001691401,461960000
6002031901,1436000015001611341,442250000
7002001861,1649000016001591281,542560000
8001931761,2064000017001541241,542890000
9001901701,2581000018001521221,553240000

$f,$ Гц$U_0,$ мВ$U_{тр}$, мВ$\left(\cfrac{U_0}{U_{тр}}\right)^2$$f^2, Гц^2$$f,$ Гц$U_0,$ мВ$U_{тр}$, мВ$\left(\cfrac{U_0}{U_{тр}}\right)^2$$f^2, Гц^2$
19001481181,5736100003600108712,3112960000
20001461121,7040000003800104682,3414440000
22001401061,7448400004000102622,7116000000
2400136981,9357600004200100592,8717640000
2600128921,946760000440094572,7219360000
2800124842,187840000460092552,8021160000
3000120812,199000000500088503,1025000000
3200116762,3310240000550087473,4330250000
3400112732,3511560000600084443,6436000000

A4  0,80 Линеаризуйте зависимость и постройте график. Отсюда определите проводимость $\sigma$ исследуемого материала. Оцените графически погрешность полученного результата.

Пересчитаем точки и занесём в таблицу выше. Построим график:

Ответ:

Угловой коэффициент графика $k=(4.87 \pm 0.6)\cdot10^{-7}~Гц^{-2}$

Ответ: \[ \sigma=\cfrac{\sqrt k}{\pi\mu_0 ah}=(44.0\pm 2.8)~МСм\]

B1  0,50 Упростив выражение для отношения комплексных амплитуд поля внутри и вне трубки, получите выражение для тангенса разности фаз $\operatorname{tg}\psi$ полей внутри и снаружи трубки в случае $h\ll\delta\ll a$.

Используя ранее полученную в А1 формулу $\cfrac{H_0}{H_1} = 1 + i \pi \sigma \mu_0 ahf$, получим
$$\operatorname{tg} \psi = \cfrac{Im\left(\cfrac{H_0}{H_1}\right)}{Re\left(\cfrac{H_0}{H_1}\right)}=\pi \sigma \mu_0 ahf$$

B2  0,50 Предложите схему установки, позволяющую определить тангенс разности фаз $\operatorname{tg}\psi$ между током в катушке и полем внутри трубки при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

Подсоединим генератор к катушке, один из каналов осциллографа к датчику Холла, а второй канал - к резистору $1~Ом$, встроенному в катушку. Искомую разность фаз теперь можно измерять осциллографом

В данной части есть несколько указаний к настройке оборудования:

  • Нужно пользоваться усреднением показаний осциллографа в диапазоне от 16 до 128 измерений
  • Нужно настроить Trigger осциллографа в режиме без усреднения так, чтобы синусоида была стабильной. В режиме с усреднением неправильная настройка триггера а) может быть незаметной, б) может привести к искажению амплитуды и фазы сигнала
  • Магнитное поле Земли и иные посторонние наводки могут внести постоянную поправку к синусоидальному сигналу, снимаемому с датчика Холла. При больших частотах это становится заметным и искажает измерения сдвига фаз. Чтобы этого избежать, нужно использовать режим AC для канала осциллографа, подключенного к датчику Холла, убирающий постоянный вклад в сигнал. 
  • Для измерения сдвига фаз точнее всего использовать курсоры на максимальном масштабе, позволяющем видеть стабильный сигнал

B3  1,00 Снимите зависимость тангенса сдвига фаз от частоты $\operatorname{tg}\psi(f)$.

$f,~Гц$$T_{½},~мкс$$\Delta t_{shift},~мкс$$\operatorname{tg} \psi$
40025001160.147
50010001100.360
100050096.80.696
150033289.61.133
180027884.81.423
190026482.41.493
2000250801.576
220022876.81.777
240021273.61.920
260019270.42.246
2800178682.573
300016664.82.788
350014458.83.376
400012654.84.823
4500111506.372
500010046.48.804
60008339.613.881
650077.635.67.676
70007234.616.350
800062.529.410.723
900056255.886
1000050182.125

B4  0,50 Постройте график этой зависимости для линейного участка. Отсюда определите проводимость материала трубки $\sigma$. Оцените графически погрешность вашего результата.

Обозначив угловой коэффициент полученного графика $k = (0.964 \pm 0.02)\cdot 10^{-3} \cfrac{1}{Гц}$, получим $\sigma = \cfrac{k}{\pi \mu_0 ah}$

$$\sigma = (59.2\pm1.2)~МСм$$

B5  0,50 Найдите, при какой частоте $f_{cr}$ экспериментальное значение $\operatorname{tg}\psi$ впервые окажется в $2$ раза больше теоретического. Найдите теоретически толщину скин-слоя $\delta_{cr}$ при этой частоте. Определите отношение $\delta_{cr}/h$. Оно является универсальной величиной и понадобится в части E.

Для убедительности построим график $\cfrac{\operatorname{tg}\psi}{f}(f)$. При $f \rightarrow 0$ он стремится к константе, равной коэффициенту наклона прямой, проведенной по теоретической зависимости $\operatorname{tg}\psi (f)$. Тогда из графика легко найти $f_{cr} \approx 4500~Гц$

Ответ: $$f_{cr} \approx 4500~Гц$$
$$\delta_{cr} = 0.98~мм$$
$$\cfrac{\delta_{cr}}{h} \approx 1.5$$

C1  0,30 Измерьте как можно точнее сопротивления между контактами $r_{12}$, $r_{23}$ и $r_{13}$.

Учитывая сопротивление мультиметра, получим

Ответ: $$r_{12} = 11.2~Ом$$
$$r_{23} = 1.1~Ом$$
$$r_{13} = 12.2~Ом$$

C2  0,50 Определите сопротивление контактов $r_к$, а также реальные сопротивления катушки $R$ и резистора $r$.

$$r_{12} = R + 2r_{к}$$
$$r_{23} = r + 2r_{к}$$
$$r_{13} = R + r + 2r_{к}$$
Откуда получим

Ответ: $$r_{к} = \cfrac{r_{12}+r_{23}-r_{13}}{2} = 0.05~Ом$$
$$R = 11.1~Ом$$
$$r = 1.0~Ом$$

C3  0,70 Предложите схему установки, позволяющую определить индуктивность катушки $L$ при известной частоте $f$ путём одновременного измерения не более двух величин с помощью осциллографа. Приведите расчётные формулы.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

Поместим трубку в катушку и будем снимать с помощью осциллографа зависимость напряжения $u$ на встроенном резисторе $1~Ом$ и суммарного напряжения $V$ на катушке+резисторе от частоты. При этом $u = Ir$, $V = I |Z|=I\sqrt{(R+r)^2+\omega^2L^2}$, откуда
$$\cfrac{V}{u} = \sqrt{\left(1+\cfrac{R}{r}\right)^2+\cfrac{\omega^2L^2}{r^2}}$$
$$L(f) = \cfrac{r}{2\pi f}\sqrt{\left(\cfrac{V}{u}\right)^2-\left(1+\cfrac{R}{r}\right)^2}$$

C4  2,50 Сняв необходимые экспериментальные точки, получите зависимость $L(f)$. Определите $L_{\min}$ и $L_{\max}$. Линеаризовав эту зависимость и построив график, найдите проводимость меди. Оцените графически погрешность полученного результата.

$f,~Гц$$u,~В$$V,~В$$L,~мГн$$\sqrt{\cfrac{L_{max}-L}{L-L_{min}}}$
100,3183,8419,990,00
500,3193,928,281,83
1000,3174,087,362,20
2000,3124,486,263,03
4000,3065,926,033,32
6000,2987,445,813,70
8000,2848,965,803,70
10000,27210,25,654,02
12000,26011,45,594,18
14000,24712,45,544,32
16000,23413,25,484,51
18000,22414,05,424,72
20000,21214,65,404,82
22000,20215,15,345,07
24000,19415,65,275,40
26000,18415,85,205,82
28000,17616,25,195,95
30000,16916,65,176,06
40000,13917,85,077,00
50000,11718,65,057,34
60000,10119,04,988,43
70000,08819,04,90113,65
80000,08019,24,77-

Из линеаризованного графика $\sqrt{\cfrac{L_{max}-L}{L-L_{min}}}(f)$ получим угловой коэффициент $k = \pi ah \mu_0 \sigma = (0.965 \pm 0.03)\cdot 10^{-3} \cfrac{1}{Гц}$, откуда $\sigma = \cfrac{k}{\pi ah \mu_0} = 59,2~МСм$

$$L_{min} = 4.77~мГн$$
$$L_{max} = 19.99~мГн$$
$$\sigma = (59,2 \pm 1.8)~МСм$$

D1  0,50 Предложите схему установки, позволяющую измерить сопротивление с учётом указанных выше данных.

Указание: Поскольку сопротивление зависит от частоты, измерение ширины резонансного пика в общем случае может быть затруднительно.

Примечание: В качестве ответа принимаются рисунки, схемы и формулы.

Оценим характерные импедансы имеющихся элементов при $f \sim 10^6~Гц$
$$|Z_L| = 2\pi fL \approx 60~Ом$$
$$|Z_C| = \cfrac{1}{2\pi fC} \sim 1~кОм$$
Сопротивление генератора $R_{gen} \approx 50~Ом$, поэтому последовательное соединение его в цепь или параллельное соединение с катушкой окажет значительное влияние на импеданс системы. Подключение генератора параллельно конденсатору фактически отключит конденсатор от цепи, в силу $R_{gen} \ll |Z_C|$. Поэтому генератор нужно подключать параллельно трубе, имеющей сопротивление, меньшее $R_{gen}$.

Предполагая, что осциллограф имеет паразитную ёмкость, сравнимую со средней ёмкостью выданных конденсаторов $(\sim 100~пФ)$, в пределе большой добротности (то есть маленьких сопротивлений $\sim 1~Ом -10~Ом$) получим, что подключение осциллографа параллельно трубке не повлияет на характеристики цепи, снова в силу $R_{gen} \ll |Z_C|$.

Наконец, заметим что подключение осциллографа параллельно катушке нецелесообразно, так как усложнит расчеты. Подсоединив осциллограф параллельно конденсатору, легко учесть постоянную поправку $C_{osc}$ к емкости системы
$$C_{eq} = C + C_{osc}$$

D2  0,50 Реальные ёмкости конденсаторов немного отличаются от указанных на них значений. Измерьте их выданным мультиметром и запишите реальные значения $C_{real}$ ёмкости в таблицу в листе ответов.

$C,~пФ$4768100220330470680100015002200
$C_{real},~пФ$475996229313451731126022603040

D3  2,00 Найдите добротность $Q$ и резонансную частоту $f_{res}$ для всех номиналов используемых конденсаторов.

Обозначим напряжение на трубке $V_R$, а на конденсаторе $V_C$. Добиваясь максимума $V_C$, можно измерить резонансную частоту $f_{res}$ для каждого номинала конденсатора.

В формуле для добротности $Q$ избавимся от неизвестной ёмкости $C$, учтя, что $f_{res} = \cfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$, получим
$$Q = \cfrac{2\pi f_{res}L}{R}$$

Привычный способ нахождения добротности с использованием ширины резонансной кривой в данном случае не применим, так как в силу скин-эффекта сопротивление цепи $R$ напрямую зависит от $f$. Однако при резонансной частоте имеем
$$V_R = I R$$
$$V_C = \cfrac{I}{2\pi f_{res}C}=2\pi I f_{res}L$$
$$Q = \cfrac{V_C}{V_R}$$
$$R = \cfrac{2\pi f_{res}L}{Q}$$

$C,~пФ$$f_{res},~МГц$$C_{eq},~пФ$$V_C,~В$$V_R,~В$$Q$$R,~Ом$
23,6818725,48,922,8581,2
53,6319225,38,842,8679,7
103,6195258,722,8778,9
223,520724,68,562,8776,5
313,4321524,48,42,9074,2
343,421924,28,42,8874,2
473,3322820,87,882,6479,3
503,3322821,48,322,5781,3
573,2823520,88,162,5580,9
593,2623820,87,762,6876,4
963,0128021,87,163,0462,1
1052,9628921,87,422,9463,3
2292,5339614,76,282,3467,9
2312,5239914,96,582,2669,9
3132,3247112,95,882,1966,4
3222,347912,96,082,1268,1
4512,0460911,45,282,1659,4
5061,9566610,95,242,0858,9
7311,738468,164,561,7960,7
12601,3414116,883,521,9543,1
21401,0522984,343,011,4445,8
22601,0323884,142,961,4046,3
30400,8733474,182,561,6333,5
32400,8535064,162,51,6632,1

D4  1,00 По измеренной резонансной частоте рассчитайте эквивалентную ёмкость $C_{eq}$, включенную в цепь. Линеаризовав зависимость $C_{eq}(C_{real})$ и построив график, найдите «паразитную ёмкость» осциллографа $C_{osc}$.

$$C_{eq} = \cfrac{1}{4\pi^2 f_{res}^2 L}$$
$$C_{eq} = C_{real} + C_{osc}$$

Ответ: $$C_{osc} = (168\pm30)~пФ$$

D5  1,50 Предложите линеаризацию, позволяющую найти проводимость. Постройте график и найдите значение $\sigma$. Графически оцените погрешность полученного результата.

$$R = \cfrac{1}{\sigma}\cfrac{l}{2\pi a \delta} = \cfrac{l}{2a}\sqrt{\cfrac{\mu_0f}{\pi \sigma}}$$
Линеаризация $R(\sqrt{f})$

Обозначив угловой коэффициент этой линеаризации $k = 0.0429~\cfrac{Ом}{\sqrt{Гц}}$, получим $\sigma = \cfrac{\mu_0 l^2}{4\pi a^2 k^2} \approx 0.01~См$. При этом погрешность $\sigma$ сравнима с самой $\sigma$, поэтому это не более чем оценочное значение

Ответ: $$\sigma = 0.01~См$$

D6  0,50 Укажите возможную причину такого результата. Обоснуйте свой ответ количественными оценками.

Возможная причина такого нереалистичного значения $\sigma$ - проявление скин-эффекта не только в трубке, но и во всех проводах системы. Для подтверждения этого предположения оценим среднее значение $\cfrac{L}{a}$ для всех имеющихся проводов.
$$\cfrac{L}{a} = 2k\sqrt{\cfrac{\pi \sigma}{\mu_0}} \sim 10^6$$
где $k$ - коэффициент пропорциональности в зависимости $R(\sqrt{f})$. Такое значение действительно возможно, например при суммарной длине проводов $L \sim 10~м$, среднем радиусе $a \sim 0.01~мм$.

E1  1,80 Методом, описанным в части A, определите толщину трубки и её проводимость. Величину $\delta_{cr}/h$ возьмите из A. Графически оцените погрешность вашего результата.

E2  1,80 Методом, описанным в части B, определите толщину трубки и её проводимость. Величину $\delta_{cr}/h$ возьмите из B5. Графически оцените погрешность вашего результата.

Какой из методов, по вашему, точнее?

$f,~Гц$$T_{½},~мкс$$\Delta t_{shift},~мкс$$\operatorname{tg} \psi$
5001000940,30
100050092,80,66
150033579,20,92
200025073,61,33
2500200681,82
300016761,62,29
320015659,62,57
350014456,82,90
370013554,43,18
4000125523,70
430011650,44,79
450011149,25,55
5000100467,92

Коэффициент полученного линейного участка равен $k = \pi \mu_0 \sigma ah = (0.739 \pm 0.03) \cdot 10^{-3} \cfrac{1}{Гц}$

Из графика $\cfrac{\operatorname{tg} \psi}{f}(f)$ найдем $f_{cr} = (4300 \pm 100)~Гц$. Обозначив $\alpha \equiv \cfrac{\delta_{cr}}{h} = 1.5$
$$k = \pi \mu_0 \sigma a \delta_{cr}/\alpha=\sqrt{\cfrac{\pi \mu_0\sigma}{f_{cr}}}\cfrac{a}{\alpha}$$
$$\sigma = \cfrac{f_{cr}}{\pi \mu_0}\left(\cfrac{k\alpha}{a}\right)^2$$

$$h = \cfrac{a}{kf_{cr} \alpha^2 }$$

Ответ: $$\sigma = (37.2\pm3.9)~МСм$$
$$h = (0.84\pm0.05)~мм$$

E3  0,40 Определите материал трубки. Используя его табличное значение $\sigma$, уточните результат для толщины трубки.

С хорошей точностью найденная $\sigma$ совпадает с $\sigma_{Al}$, поэтому можно сделать вывод, что трубка сделана из алюминия. Уточним толщину трубки:
$$h_{ex} = \cfrac{k}{\pi \mu_0\sigma a} = 0.89~мм$$

Ответ: $$h_{ex} = (0.89\pm0.04)~мм$$