1. Математическое введение

По определению считается, что члены числовой последовательности $x_0, x_1, x_2, \dots$ подчиняются рекуррентному соотношению, если каждый последующий из них выражается через предыдущие. Например, для известной вам геометрической прогрессии $$x_k=\lambda x_{k-1}, \tag{1}$$ где $k=1, 2, 3,\dots, \lambda$ — некоторое фиксированное число, а нулевой член последовательности имеет некоторое значение $A$, то есть $x_0=A$.

1.1  ^0.20 Получите формулу для произвольного члена последовательности $x_k$ в явном виде, т.е. выразите его через номер $k$, начальное значение $A$ и $\lambda$.

Теперь рассмотрим число $\lambda=2+\sqrt{3}$. При возведении в целую натуральную степень $k$, его можно представить в виде $$\lambda^k=p_k+q_k\sqrt{3}, \tag{2}$$ где $p_k$, $q_k$ — некоторые целые числа.

1.2  ^0.40 Запишите рекуррентные соотношения, выражающие значения $p_k$, $q_k$ через предыдущие значения $p_{k-1}$, $q_{k-1}$. Запишите также обратные соотношения, выражающие $p_{k-1}$, $q_{k-1}$ через $p_k$, $q_k$.

1.3  ^0.70 Рассчитайте численные значения коэффициентов $p_k$, $q_k$ для $k=1, 2, 3, 4, 5$.

1.4  ^0.20 Выразите число $\lambda^{-k}=(2+\sqrt{3})^{-k}$ через найденные величины $p_k$, $q_k$.

Пусть члены некоторой числовой последовательности подчиняются рекуррентному соотношению $$x_{k+1}=4x_k-x_{k-1}, \quad k=1, \dots , N-1, \tag{3}$$ причем известно, что $N$ — некоторое целое число, а $x_0=A$ и $x_N=B$; $A$, $B$ — произвольные числа.

1.5  ^1.00 Получите формулу для произвольного члена $x_k$ последовательности $(3)$ в явном виде, т.е. выразите его через номер $k$ и величины $A$, $B$, $N$.

1.6  ^0.50 Выразите произвольный член последовательности $x_k$ через величины $p_k$, $q_k$, найденные в пп.1.2-1.3.

Подсказка. Решение рекуррентного соотношения $(3)$ нужно искать в виде $x_k=C\lambda^k$, где $C$ — некоторая константа. 

Найдите, при каких значениях $\lambda$ это возможно и постройте общее решение, удовлетворяющее заданным условиям.

2. Проволочный каркас в форме призмы

Широко известны задачи, в которых требуется найти электрическое сопротивление простейших проволочных каркасов. Пример одного из таких каркасов в форме куба показан на рисунке внизу. Пусть электрическое сопротивление каждого ребра равно $R_0$.

2.1  ^0.80 Найдите сопротивление куба при подключении источника к вершинам одного ребра, как показано на рисунке выше.

Давайте рассмотрим более общий случай проволочного каркаса в форме правильной призмы с произвольным числом боковых граней $N$ и определим его электрическое сопротивление при подключении источника к вершинам одного из боковых ребер, как показано на рисунке внизу. Сопротивление каждого ребра каркаса равно $R_0$.

Для удобства пронумеруем вершины призмы и обозначим их электрические потенциалы: на верхней грани $x_k$, а на нижней грани $y_k$, как показано на рисунке внизу. Источник постоянного напряжения подключен к вершинам нулевого ребра. Будем считать, что источник задает потенциалы вершин ребра равными $x_0=+\varphi_0$ и $y_0=-\varphi_0$ соответственно.

2.2  ^0.20 Запишите соотношение, которое связывает значения потенциалов $x_k$ и $y_k$. Запишите соотношение, которое связывает значения потенциалов $x_k$ и $x_{N-k}$.

Рассмотрим произвольное боковое ребро призмы, кроме нулевого $k=0$ и последнего $k=N-1$. Соответствующая электрическая схема показана на рисунке ниже.

2.3  ^1.00 Запишите соотношение, связывающие значения потенциала $x_k$ со значениями потенциалов в соседних вершинах для $k=1, 2\dots N-2$.

2.4  ^0.20 Запишите граничные условия в точках $k=0$ и $k=N−1$, позволяющие определить значения потенциалов $x_k$ однозначно.

2.5  ^0.20 Найдите явные выражения для потенциалов $x_k$ и $y_k$ для всех значений $k=0, 1, 2\dots N-1$.

2.6  ^0.40 Выразите значение силы тока, протекающего через источник, через величины $\varphi_0$, $R_0$, $N$. Используйте найденные в Математическом введении числа $p_k$, $q_k$.

2.7  ^0.20 Получите явную формулу для сопротивления проволочного каркаса $R_N$, выразив его через величины $R_0$, $p_N$, $q_N$.

2.8  ^1.00 Рассчитайте точные значения сопротивлений каркаса для $N=1, 2, 3, 4, 5$.

2.9  ^0.50 Нарисуйте эквивалентные электрические схемы для «экзотических» призм с $N=1$ и $N=2$.

2.10  ^1.00 Найдите значения сопротивления $R_{\infty}$ каркаса при $N \rightarrow \infty$.

2.11  ^1.50 Найдите минимальное значение $N$, при котором сопротивление призмы отличается от $R_{\infty}$ не более чем на $2\%$.