1.1  ^0.20 Получите формулу для произвольного члена последовательности $x_k$ в явном виде, т.е. выразите его через номер $k$, начальное значение $A$ и $\lambda$.

Из школьного курса математики известно, что члены геометрической прогрессии выражаются в явном виде так
$$x_k=A\lambda^k. \tag{1}$$

1.2  ^0.40 Запишите рекуррентные соотношения, выражающие значения $p_k$, $q_k$ через предыдущие значения $p_{k-1}$, $q_{k-1}$. Запишите также обратные соотношения, выражающие $p_{k-1}$, $q_{k-1}$ через $p_k$, $q_k$.

Выразим $\lambda^k$ рекуррентно через $\lambda^{k-1}$:
$$\lambda^k=\lambda^{k-1}\cdot \lambda$$
и преобразуем его с помощью приведенной формы
$$\lambda^k=(p_k+q_k\sqrt{3})=(p_{k-1}+q_{k-1}\sqrt{3})\cdot(2+\sqrt{3})=2p_{k-1}+p_{k-1}\sqrt{3}+2q_{k-1}\sqrt{3}+3q_{k-1}=\\=(2p_{k-1}+3q_{k-1})+(p_{k-1}+2q_{k-1})\sqrt{3}. \tag{2}$$
Из этого равенства следуют требуемые рекуррентные соотношения
$$p_k=2p_{k-1}+3q_{k-1}, \\ q_k=p_{k-1}+2q_{k-1}. \tag{3}$$
Обратные соотношения получаются аналогично:
$$\lambda^{k-1}=p_{k-1}+q_{k-1}=\lambda^k \cdot \lambda^{-1}=(p_k+q_k\sqrt{3})\cdot (2-\sqrt{3})=\\=(2p_k-3q_k)+(2q_k-p_k)\sqrt{3}, \tag{4}$$
откуда следует
$$p_{k-1}=2p_k-3q_k, \\ q_{k-1}=2q_k-p_k. \tag{5}$$

1.3  ^0.70 Рассчитайте численные значения коэффициентов $p_k$, $q_k$ для $k=1, 2, 3, 4, 5$.

Расчет коэффициентов легко провести последовательно, учитывая, что $p_0=1$, $q_0=0$. Результаты расчетов приведены в таблице $1$.

1.4  ^0.20 Выразите число $\lambda^{-k}=(2+\sqrt{3})^{-k}$ через найденные величины $p_k$, $q_k$.

Можно заметить, что
$$\lambda^{-1}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}, \tag{6}$$
поэтому
$$\lambda^{-k}=(2-\sqrt{3})^k=p_k-q_k\sqrt{3}. \tag{7}$$

1.5  ^1.00 Получите формулу для произвольного члена $x_k$ последовательности $(3)$ в явном виде, т.е. выразите его через номер $k$ и величины $A$, $B$, $N$.

Используя подсказку, подставим величины $x_k=C\lambda^k$ в рекуррентное соотношение и получим уравнение для определения $\lambda$ в виде
$$\lambda^{k+1}=4\lambda^k-\lambda^{k-1}. \tag{8}$$
После сокращения получим квадратное уравнение
$$\lambda^2-4\lambda+1=0, \tag{9}$$
решением которого являются
$$\lambda_{1,2}=2\pm \sqrt{3}. \tag{10}$$
Следовательно, в общем виде члены последовательности, заданной рекуррентным соотношением $(3)$ в условии задачи, в явном виде могут быть описаны формулой
$$x_k=C_1\lambda_1^k+C_2\lambda_2^k, \tag{11}$$
где $C_1$, $C_2$ — произвольные постоянные, которые могут быть найдены из граничных условий:
$$x_0=A \Rightarrow C_1+C_2=A \\ x_0=B \Rightarrow C_1\lambda_1^N+C_2\lambda_2^N=B. \tag{12}$$
Решая полученную систему линейных уравнений, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{cases}
C_1+C_2= A \\
C_1\lambda_1^N+C_2\lambda_2^N=B
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
C_1= \frac{B-A\lambda_2^N}{\lambda_1^N-\lambda_2^N} \\
C_2=\frac{A\lambda_1^N-B}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}. \tag{13}
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Подставив это решение в выражение $(11)$, преобразуем его к симметричному виду
$$x_k=C_1\lambda_1^k+C_2\lambda_2^k=\frac{B-A\lambda_2^N}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}\lambda_1^k+\frac{A\lambda_1^N-B}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}\lambda_2^k=\\=\frac{A\lambda_1^N\lambda_2^k-B\lambda^k_2+B\lambda_1^k-A\lambda_2^N\lambda_1^k}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}=\frac{A(\lambda_1^{N-k}-\lambda_2^{N-k})+B(\lambda_1^k-\lambda_2^k)}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}. \tag{14}$$
При выводе последнего соотношения учтено, что по теореме Виета $\lambda_2=\lambda_1^{-1}$.

 

1.6  ^0.50 Выразите произвольный член последовательности $x_k$ через величины $p_k$, $q_k$, найденные в пп.1.2-1.3.

Подсказка. Решение рекуррентного соотношения $(3)$ нужно искать в виде $x_k=C\lambda^k$, где $C$ — некоторая константа. 

Найдите, при каких значениях $\lambda$ это возможно и постройте общее решение, удовлетворяющее заданным условиям.

С учетом полученных формул для $\lambda_{1,2}^k$, найдем, что
$$\lambda_1^k-\lambda_2^k=\lambda_1^k-\lambda_1^{-k}=(p_k+q_k\sqrt{3})-(p_k-q_k\sqrt{3})=2q_k\sqrt{3}, \tag{15}$$
откуда окончательно получим
$$x_k=\frac{A(\lambda_1^{N-k}-\lambda_2^{N-k})+B(\lambda_1^k-\lambda_2^k)}{\lambda_1^N-\lambda_2^N}=\frac{Aq_{N-k}+Bq_k}{q_N}. \tag{16}$$

2.1  ^0.80 Найдите сопротивление куба при подключении источника к вершинам одного ребра, как показано на рисунке выше.

Если соединить вершины куба, имеющие одинаковый потенциал, то получим следующую эквивалентную схему

которая поддается расчету стандартными методами

Итого: сопротивление куба при заданном подключении равно
$$R=\frac{7}{12}R_0. \tag{17}$$

2.2  ^0.20 Запишите соотношение, которое связывает значения потенциалов $x_k$ и $y_k$. Запишите соотношение, которое связывает значения потенциалов $x_k$ и $x_{N-k}$.

Явная симметрия схемы и начальных условий дает очевидные соотношения
$$y_k=-x_k, \tag{18}$$
$$x_{N-k}=x_k. \tag{19}$$

2.3  ^1.00 Запишите соотношение, связывающие значения потенциала $x_k$ со значениями потенциалов в соседних вершинах для $k=1, 2\dots N-2$.

Алгебраическая сумма сил токов, входящих в узел равна нулю, поэтому для узла $x_k$ можно записать, с учетом закона Ома, следующее уравнение
$$\frac{x_{k-1}-x_k}{R_0}+\frac{x_{k+1}-x_k}{R_0}+\frac{y_k-x_k}{R_0}=0. \tag{20}$$
Так как $y_k=-x_k$, то из полученного уравнения следует
$$x_{k+1}-4x_k+x_{k-1}=0. \tag{21}$$

2.4  ^0.20 Запишите граничные условия в точках $k=0$ и $k=N−1$, позволяющие определить значения потенциалов $x_k$ однозначно.

Для однозначного определения всех величин $x_k$ в явном виде необходимо задать два граничных условия. В качестве таких могут быть выбраны заданное значение начального потенциала
$$x_0=\varphi_0, \tag{22}$$
а в качестве второго — условие симметрии $(19)$, которое справедливо при любом $k$, в частности при $k=0$ (несмотря на то, что узла с номером $N$ в схеме нет!)
$$x_N=x_0. \tag{23}$$

2.5  ^0.20 Найдите явные выражения для потенциалов $x_k$ и $y_k$ для всех значений $k=0, 1, 2\dots N-1$.

Рекуррентное соотношение $(21)$ рассмотрено в Математическом введении. Поэтому можно воспользоваться полученным решением $(16)$, если положить $A=B=\varphi_0$:
$$x_k=\frac{Aq_{N-k}+Bq_k}{q_N}=\varphi_0\frac{q_{N-k}+q_k}{q_N}. \tag{24}$$

2.6  ^0.40 Выразите значение силы тока, протекающего через источник, через величины $\varphi_0$, $R_0$, $N$. Используйте найденные в Математическом введении числа $p_k$, $q_k$.

Сила тока в цепи источника равна сумме токов, вытекающих из узла $x_0$:
$$I=\frac{x_0-x_1}{R_0}+\frac{x_0-x_{N-1}}{R_0}+\frac{x_0-y_0}{R_0}=\frac{4x_0-2x_1}{R_0}. \tag{25}$$
Здесь принято во внимание, что $y_0=-x_0$, $x_{N-1}=x_1$. Подставляя найденные значения $x_0$, $x_1$, получим
$$I_0=\frac{4x_0-2x_1}{R_0}=\frac{2}{R_0}\left(2\varphi_0-\varphi_0\frac{q_{N-1}+q_1}{q_N}\right)=\frac{2\varphi_0}{R_0}\left(2-\frac{q_{N-1}+1}{q_N}\right)=\\=\frac{2\varphi_0}{R_0}\frac{2q_N-q_{N-1}-1}{q_N}=\frac{2\varphi_0}{R_0}\frac{2q_N-(2q_N-p_N)-1}{q_N}=\frac{2\varphi_0}{R_0}\frac{p_N-1}{q_N}. \tag{26}$$
На последнем шаге использовано соотношение $(5)$ $q_{N-1}=2q_N-p_N$.

2.7  ^0.20 Получите явную формулу для сопротивления проволочного каркаса $R_N$, выразив его через величины $R_0$, $p_N$, $q_N$.

На входе рассматриваемой сети напряжение равно
$$U_0=2\varphi_0, \tag{27}$$
следовательно, ее сопротивление можно рассчитать по изящной формуле
$$R_N=\frac{U_0}{I_0}=R\frac{q_N}{p_N-1}. \tag{28}$$

2.8  ^1.00 Рассчитайте точные значения сопротивлений каркаса для $N=1, 2, 3, 4, 5$.

Расчеты легко провести с помощью чисел Таблицы 1.

Таблица 2. Сопротивления призм.

Значение сопротивления кубического каркаса для $N=4$ совпадает с найденным ранее.

2.9  ^0.50 Нарисуйте эквивалентные электрические схемы для «экзотических» призм с $N=1$ и $N=2$.

Для $N=1$ схема очевидна:

При $N=2$ следует не забыть «замкнуть» призму:

В обоих случаях сопротивления этих призм соответствуют значениям, приведенным в Таблице 2.

2.10  ^1.00 Найдите значения сопротивления $R_{\infty}$ каркаса при $N \rightarrow \infty$.

Предел формулы $(28)$ можно найти различными способами, например, выразив
$$p_N=\frac{1}{2}(\lambda^N-\lambda^{-N}), \quad q_N=\frac{1}{2\sqrt{3}}(\lambda^N+\lambda^{-N}), \tag{29}$$
где $\lambda=2+\sqrt{3} > 1$.
Тогда
$$R_{\infty}=\lim_{N\rightarrow \infty} R_N=R_0 \lim_{N\rightarrow \infty} \frac{q_N}{p_N-1}=R_0 \lim_{N\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}(\lambda^N+\lambda^{-N})}{\frac{1}{2}(\lambda^N-\lambda^{-N})-1}=\frac{R_0}{\sqrt{3}}. \tag{30}$$

2.11  ^1.50 Найдите минимальное значение $N$, при котором сопротивление призмы отличается от $R_{\infty}$ не более чем на $2\%$.

Рассчитаем
$$\frac{R_{\infty}}{R_0}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577. \tag{31}$$
Затем проведем расчет относительной погрешности этого приближенного выражения для различных возрастающих $N$ с помощью данных Таблицы 2.

Таблица 3.

$N$	$R_N$	$\frac{R_N}{R_0}$	$\varepsilon=\frac{R_{\infty}-R_N}{R_N}$
1	$R_0$	1.000	-0.423
2	$\frac{2}{3}R_0$	0.667	-0.134
3	$\frac{3}{4}R_0$	0.750	-0.038
4	$\frac{7}{12}R_0$	0.583	-0.010
5	$\frac{11}{19}R_0$	0.579	< -0.004

Видим, что уже при $N=4$ погрешность равна $1\%$. Следовательно, в данной задаче бесконечность равна четырем!
$$\infty=4. \tag{32}$$