1  ^2.00 Найдите высоту уровня воды в сосуде $x=x_0$ в тот момент, когда трубка будет полностью заполнена водой. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $h$, $L$ и найдите его численное значение.

При наливании воды воздух в сосуде будет сжиматься, а его давление возрастать. В тот момент, когда трубка будет полностью заполнена водой давление воздуха в сосуде будет равно
$$p=p_0+\rho g(L-x_0). \tag{1}$$Так как стенки сосуда хорошо проводят тепло, то температура воздуха внутри сосуда не изменится, поэтому будут справедливы уравнения состояния
$$p_0Sh=\nu RT_0, \tag{2}$$$$pS(h-x_0)=\nu RT_0, \tag{3}$$где $S$ — площадь поперечного сечения сосуда, $\nu$ — количество молей воздуха внутри сосуда.
Из выражений $(1)-(3)$ получаем следующее квадратное уравнение
$$\rho gx_0^2-[p_0+\rho g(L+h)]x_0+\rho ghL=0, \tag{4}$$которое имеет решение
$$x_0=\frac{1}{2}\left[\frac{p_0}{\rho g}+L+h\pm\sqrt{\left(\frac{p_0}{\rho g}+L+h\right)^2-4hL}\right]. \tag{5}$$Из двух решений $(5)$ выбираем меньшее, так как должно быть $x_0=h$ при $p_0=0$ или $x_0=0$ при $L=0$, то есть
$$x_0=\frac{1}{2}\left[\frac{p_0}{\rho g}+L+h-\sqrt{\left(\frac{p_0}{\rho g}+L+h\right)^2-4hL}\right]. \tag{6}$$Подстановка численных значений дает
$$x_0=7.86\cdot 10^{-2}~м. \tag{7}$$

2  ^0.50 Найдите зависимость давления воздуха в сосуде $p(x)$ как функцию от $x$. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $x$.

Из уравнения равновесия воды в сосуде следует, что давление воздуха внутри сосуда в зависимости от $x$ равняется
$$p(x)=p_0+\rho g(L-x). \tag{8}$$

3  ^1.00 Найдите зависимость температуры воздуха в сосуде $T(x)$ как функцию от $x$. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $x$.

Уравнение состояния идеального газа для произвольного $x$ дается выражением
$$p(x)S(h-x)=\nu RT(x), \tag{9}$$которое совместно с $(1)$ дает
$$T(x)=T_0\left(1-\frac{x}{h}\right)\left(1+\frac{\rho g(L-x)}{p_0}\right). \tag{10}$$

4  ^1.00 Найдите до какой температуры $T_m$ необходимо нагреть воздух, чтобы он полностью вытеснил воду из сосуда. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $T_0$ и найдите его численное значение.

Температура воздуха, при которой он вытесняет жидкость из сосуда, определяется условием $x=0$, что согласно $(10)$ приводит к
$$T_m=T_0\left(1+\frac{\rho gL}{p_0}\right), \tag{11}$$а соответствующее численное значение
$$T_m=350~К. \tag{12}$$

5  ^2.50 Найдите количество теплоты $Q$, которое надо сообщить воздуху, чтобы он полностью вытеснил воду из сосуда. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $h$, $L$, $S$ и найдите его численное значение.

Изменение внутренней энергии воздуха равно
$$\Delta U=\frac{5}{2}\nu R(T-T_0)=\frac{5}{2}\rho gLSh, \tag{13}$$а работа, совершаемая воздухом по вытеснению воды, вычисляется как
$$A=\int\limits_0^{x_0}p(x)Sdx=\frac{1}{2}p_0SL\left(1+\frac{p_0}{2\rho gL}+\frac{\rho gL}{2p_0}\left[1+\frac{2h}{L}-\frac{h^2}{L^2}\right]\right)-\\-\frac{1}{4}p_0SL\left(1+\frac{\rho g(L-h)}{p_0}\right)\sqrt{\left(1+\frac{h}{L}+\frac{p_0}{\rho gL}\right)^2-\frac{4h}{L}}. \ (14)$$Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, сообщенное воздуху, равно
$$Q=\Delta U+A, \tag{15}$$откуда с учетом $(13)$ и $(14)$ находим
$$Q=\frac{1}{2}p_0SL\left(1+\frac{p_0}{2\rho gL}+\frac{\rho gL}{2p_0}\left[1+\frac{12h}{L}-\frac{h^2}{L^2}\right]\right)-\\-\frac{1}{4}p_0SL\left(1+\frac{\rho g(L-h)}{p_0}\right)\sqrt{\left(1+\frac{h}{L}+\frac{p_0}{\rho gL}\right)^2-\frac{4h}{L}}. \ (16)$$Подстановка численных значений дает
$$Q=17.0~кДж. \tag{17}$$