Pho.rs: Запаздывание и затухание

1.1.1 ^1.00

Покажите, что магнитное поле $B_z$ на оси диполя на больших расстояниях определяется формулой
$$B_z=b\frac{p_m}{z^{\beta}},$$где $z$ — координата, отсчитываемая вдоль оси диполя от его центра. Найдите значения параметров $b$ и $\beta$ в этой формуле.

1 Найдено поле кольца на оси	0.25
2 Сделано упрощение $z\gg R$	0.25
3 Правильное $b$	0.25
4 Правильное $\beta$	0.25

1.1.2 ^1.00

Пусть виток с током (магнитный диполь) с магнитным моментом $p_m$ находится в неоднородном осесимметричном поле, индукция которого на оси $z$ зависит от координаты $z$ по закону $B_z(z)$. Ось диполя совпадает с осью симметрии поля. Покажите, что сила, действующая на диполь со стороны магнитного поля, определяется формулой
$$F_z=-p_m\frac{dB_z}{dz}.$$

1 Записана связь $B_r$ и $B_z$	0.25
2 Найдена радиальная составляющая $B_r=-\cfrac r2\cfrac{\mathrm dB_z}{\mathrm dz}$	0.50
3 Потерян минус	-0.20
4 $F=-p_m\cfrac{\mathrm dB_z}{\mathrm dz}$	0.25

1.2.1 ^0.25 Найдите частоту собственных колебаний магнита $\omega_0$ в отсутствие всех внешних полей.

1 $\omega_0=\sqrt{k/m}$

0.25

1.2.2 ^2.00 Найдите силу $F(x,v)$, действующую со стороны диска на магнит, как функцию его координаты $x$ и скорости $v$. Запишите уравнение движения магнита.

1 $E=-\cfrac r2\cfrac{\mathrm dB_z}{\mathrm dt}$	0.75
2 Потерян минус	-0.25
3 Закон Ома в дифференциальной форме $j=E/\rho$	0.25
4 Магнитный момент $p'_m=\cfrac{3\mu_0}{16\rho}\cfrac{p_m}{z^4}hR^4v$	0.40
5 Сила $F=-\cfrac9{32}\cfrac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4v=bv$	0.40
6 Потерян минус	-0.10
7 Вместо $9/32$ получено $21/32$	-0.20
8 $ma=-kx-bv$	0.20

1.2.3 ^1.00 Найдите относительное изменение частоты колебаний магнита $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска.

1 Частота меняется из-за затухания	0.30
2 $\Delta\omega=\delta^2/2\omega_0$	0.30
3 $\delta=b/2m$	0.20
4 Ответ	0.20

1.2.4 ^0.25 Считая затухание колебаний слабыми, найдите характерное время затухания колебаний шарика.

1 $\tau=\cfrac{64m\pi\rho z^8}{9\mu_0^2p_m^2hR^4}$

0.25

1.2.5 ^1.00 Покажите, что потери механической энергии магнита равны количеству теплоты, выделившемуся в диске за то же время.

1 Найдены потери в диске	0.50
2 Найдена работа силы трения	0.40
3 Они равны	0.10

2.1.1 ^1.00 Напряженность электрического поля, создаваемого диполем на его оси на расстоянии $z \gg l$, определяется формулой
$$E=a\frac{p_e}{z^{\alpha}}.$$Определите параметры $a$, $\alpha$ в этой формуле.

1 Найдено поле диполя на оси	0.25
2 Сделано упрощение $z\gg R$	0.25
3 Правильное $a$	0.25
4 Правильное $\alpha$	0.25

2.2.1 ^0.75 Найдите, насколько сместится положение равновесия шарика из-за влияния диска.

1 Найдена постоянная компонента силы $\cfrac{q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^5}$	0.50
2 $\Delta x=\cfrac{q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^5k}$	0.25

2.2.2 ^0.75 Найдите относительное изменение частоты колебаний шарика $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска.

1 Найдена компонента силы $\cfrac{5q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^6}x$	0.50
2 $\cfrac{\Delta\omega}{\omega_0}=-\cfrac{5q^2V}{16\pi^2\varepsilon_0z^6k}$	0.25

2.2.3 ^1.50 Получите уравнение, описывающее изменение во времени индуцированного дипольного момента диска (т.е. связывающее дипольный момент диска $p$ и скорость его изменения во времени $dp/dt$).

1 $E_1=\cfrac1{4\pi\varepsilon_0}\cfrac q{(z-x)^2}\approx\cfrac q{4\pi\varepsilon_0z^2}\left(1+2\cfrac xz\right)$	0.30
2 $E_2=-\cfrac\sigma{\varepsilon_0}$	0.20
3 Потерян минус	-0.10
4 $E_1+E_2=\rho j$	0.20
5 $\dot\sigma=j$	0.20
6 $p=\sigma V$	0.20
7 $\varepsilon_0\rho\dot p+p=\cfrac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\cfrac xz\right)$	0.40

2.2.4 ^0.25 Считая диск конденсатором, пластины которого соединены резистором, найдите характерное время такой $RC$-цепочки. Ответ выразите через удельное сопротивление $\rho$ материала диска.

1 $\tau=\varepsilon_0\rho$

0.25

2.2.5 ^0.50 Запишите следующее из этого условия соотношение между $\omega$ и $\rho$.

1 $\varepsilon_0\rho\omega\ll1$

0.50

2.2.6 ^2.00 Получите в этом приближении из уравнения, полученного в пункте 2.2.3, выражение дипольного момента диска $p$ через координату шарика $x$ и его скорость $v$.

1 $\varepsilon_0\rho\dot p\ll p$	0.50
2 $\dot p=\cfrac{qV}{2\pi z^3}v$	1.00
3 $p=\cfrac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\cfrac xz\right)-\varepsilon_0\rho\cfrac{qV}{2\pi z^3}v$	0.50

2.2.7 ^1.50 Найдите выражение для силы, действующей на шарик со стороны диска. Запишите уравнение движения шарика.

1 $F=\cfrac p{2\pi\varepsilon_0 z^3}q$	0.50
2 $F=\cfrac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0z^6}[(z+5x)-2\varepsilon_0\rho v]$	0.50
3 $mx''+\cfrac{q^2\rho R^2h}{4\pi z^6}x'+\left[k-\cfrac{5q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0z^6}\right]x=\cfrac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0z^5}$	0.50

2.2.8 ^0.25 Найдите характерное время затухания колебаний шарика.

1 $\tau=\cfrac{8\pi z^6m}{q^2\rho R^2h}$

0.25

2.2.9 ^1.00 Покажите, что потери механической энергии шарика равны количеству теплоты, выделившемуся в диске то же время.

1 Найдены потери в диске	0.50
2 Найдена работа силы трения	0.40
3 Они равны	0.10

Запаздывание и затухание

Разбалловка