Пластинка будет формировать изображение $S^{\prime}$, если оптическая длина пути $l=SABS^{\prime}$ для любого светового луча, вышедшего из источника и преломившегося в пластинке, будет одинакова для всех лучей (условие таутохронизма линзы). Рассмотрим луч, попадающий на пластинку на расстоянии $r$ от ее оси. Будем считать, что $r \ll a$, т.е. будем использовать параксиальное приближение. Расстояние $|SA|$ найдем с помощью теоремы Пифагора и сделаем приближение, учитывая что $r \ll a$: $$|SA|=\sqrt{a^2+r^2}=a\sqrt{1+\frac{r^2}{a^2}}\approx a\left(1+\frac{1}{2}\frac{r^2}{a^2}\right). \tag{1}$$ Аналогично выражается расстояние $|BS^{\prime}|$ $$|BS^{\prime}|=\sqrt{b^2+r^2}=b\sqrt{1+\frac{r^2}{b^2}}\approx b\left(1+\frac{1}{2}\frac{r^2}{b^2}\right). \tag{2}$$ Таким образом, оптическая длина пути $|SABS^{\prime}|$ равна $$l=|SA|+n(r)h+|BS^{\prime}|=a\left(1+\frac{1}{2}\frac{r^2}{a^2}\right)+n_0(1-\beta r^2)h+b\left(1+\frac{1}{2}\frac{r^2}{b^2}\right)=\\=a+n_0h+b+\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-n_0\beta h\right)r^2. \ (3)$$ Эта величина не будет зависеть от $r$ (то есть, одинакова для всех лучей) при равенстве нулю множителя $$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}-n_0\beta h=0, \tag{4}$$ которое можно переписать в виде $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2n_0\beta h. \tag{5}$$ Это выражение совпадает по виду с формулой тонкой линзы $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F}, \tag{6}$$ где $F$ — фокусное расстояние. Сравнивая $(5)$ и $(6)$, находим фокусное расстояние пластинки $$F=\frac{1}{2n_0\beta h}. \tag{7}$$ Из формулы $(5)$ также находим расстояние от пластинки до изображения: $$b=\frac{a}{2n_0\beta ha-1}. \tag{8}$$
Альтернативный вариант — приближение геометрической оптики.
Данная задача, в принципе, может быть решена и в рамках геометрической оптики.
Основные этапы такого (очень сложного решения) следующие:
- использование закона преломления Снелиуса;
- выбор произвольного луча и определения угла падения на пластинку;
- угол луча после преломления на передней грани пластинки;
- получение дифференциального уравнения для траектории луча внутри пластинки;
- решение этого уравнения в квадратичном приближении;
- определение угла на выходе из пластинки (должен быть отрицательным);
- определение угла после преломления на задней грани;
- определение расстояния до точки пересечения с осью пластинки;
- доказательство постоянства этого расстояния для всех лучей;
- получение формулы линзы;
- запись формулы для фокусного расстояния.