Вычислим полную электростатическую энергию протонов в ядре. В рамках капельной модели заряд ядра $Ze$ равномерно распределен внутри шара радиуса $R$ так, что его объемная плотность всюду одинакова и равна
$$\rho_q=\frac{3Q}{4\pi R^3}. \tag{1}$$Используя теорему Гаусса, найдем электрическое поле внутри и вне шара
$$E(r)4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\rho_q\frac{4\pi}{3}r^3, \tag{2}$$$$E(r)4\pi r^2=\frac{1}{\varepsilon_0}\rho_q\frac{4\pi}{3}R^3, \tag{2}$$Отсюда получаем
$$\begin{equation*}
E(r) =
\begin{cases}
\frac{\rho_q r}{2\varepsilon_0}, \quad r \le R \\
\frac{\rho_q R^3}{2\varepsilon_0 r^2}, \quad r > R \tag{4}
\end{cases}
\end{equation*}$$Полная электростатическая энергия определяется интегралом
$$E_C=\int\limits_0^{\infty}w4\pi r^2dr=\int\limits_0^{\infty}\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}4\pi r^2 dr=\frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}. \tag{5}$$

Из формулы $(5)$, $Q=Ze$ и $R(A)=R_0A^{1/3}$ видим, что электростатической энергии соответствует третий член в полуэмпирической формуле Вайцзеккера, поэтому
$$a_3\frac{Z^2}{A^{1/3}}=\frac{3Z^2 e}{20\pi\varepsilon_0 R_0 A^{1/3}}, \tag{6}$$откуда
$$R_0=\frac{3e}{20\pi \varepsilon_0 a_3}=1.2\times 10^{-15}~м. \tag{7}$$

Плотность ядерного вещества определяется формулой
$$\rho_m=\frac{3Am}{4\pi R^3}=\frac{3m}{4\pi R^3_0}=2.3\times 10^{17}~кг/м^3. \tag{8}$$

Поверхностная энергия зависит от поверхностного натяжения
$$E_{sur}=\sigma S=4\pi\sigma R^2=4\pi\sigma R_0^2A^{2/3}. \tag{9}$$Отсюда заключаем, что поверхностной энергии соответствует второй член полуэмпирической формулы Вайцзеккера
$$4\pi\sigma R_0^2A^{2/3}=ea_2A^{2/3}, \tag{10}$$откуда
$$\sigma=\frac{ea_2}{4\pi R_0^2}=1.5\times 10^{17}~Н/м. \tag{11}$$

Деление ядер становится энергетически выгодным, только если потенциальная энергия взаимодействия ядер уменьшается, то есть
$$E_p(A,Z)-E_p(kA,kZ)-E_p((1-k)A,(1-k)Z) > 0, \tag{12}$$откуда получаем
$$\frac{Z^2}{A} > f(k)=-\frac{a_2\left(1-k^{2/3}-(1-k)^{2/3}\right)}{a_3\left(1-k^{5/3}-(1-k)^{5/3}\right)}. \tag{13}$$График функции $f(k)$ представлен ниже.

Ответ:

Функция $f(k)$ симметрична относительно точки $k=0.50$, поэтому в этой точке и достигается минимум, что соответствует значению
$$(Z^2/A)_0=16. \tag{14}$$

Поскольку ядро трактуется как жидкость, его объем не должен измениться. Используя формулу для объема эллипсоида и учитывая, что $\varepsilon$, $\lambda \ll 1$, получаем
$$V=\frac{4\pi}{3}R^3(1+\varepsilon-2\lambda)=\frac{4\pi}{3}R^3, \tag{15}$$откуда
$$\varepsilon=2\lambda. \tag{16}$$

На основании формул Тейлора при малых деформациях ядра с учетом $(16)$ площадь поверхности жидкости возрастает на
$$\Delta S=\frac{32}{5}\pi R^2\lambda^2=\frac{32}{5}\pi R_0^2 A^{2/3}\lambda^2, \tag{17}$$а соответствующее увеличение поверхностной энергии равно
$$\Delta E_{surf}=\sigma\Delta S=\frac{32}{5}\pi\sigma R^2_0A^{2/3}\lambda^2. \tag{18}$$Кулоновская энергия взаимодействия протонов уменьшается на величину
$$\Delta E_C=\frac{3Z^2e^2}{120\pi \varepsilon_0 R}\varepsilon(\varepsilon+\lambda)=\frac{3Z^2e^2}{20\pi\varepsilon_0 R_0 A^{1/3}}\lambda^2. \tag{19}$$Ядро является неустойчивым, если выполняется условие
$$\Delta E_C > \Delta E_{surf}, \tag{20}$$откуда
$$(Z^2/A)_{crtitcal}=\frac{128\pi^2\varepsilon_0\sigma R_0^3}{3e^2}=37. \tag{21}$$