Часть A. Пузыри в море (3 балла)

Пузыри возникают в жидкости в самых разных ситуациях: при наливании шипучего напитка в стакан, при плавании или при работе фильтра аквариума. В последние годы люди научились генерировать микроскопические пузыри размерами $1\ldots100~\text{мкм}$ и концентрацией $\geq1500~\text{мл}^{-1}$, пропуская воду через сопло. Пузыри также образуются при перепадах давления в трубах и на винтах судов. Такое явление называется кавитацией и не только вызывает вибрацию труб и винтов, но и может наносить повреждения вплоть до разрушения. Глубоководные аппараты наблюдали образование пузырей на морском дне на глубине $1333~\text{м}$ в бухте Изена на островах Нансей. В процессе выхода таких пузырей на поверхность большое влияние оказывают изменения давления и температуры воды.

Рассмотрим, как ведут себя всплывающие пузырьки. Будем считать, что пузырёк достаточно мал, и его можно рассматривать как сферу. Температура внутри пузырька всё время предполагается равной температуре окружающей воды, а газ внутри него предполагается идеальным. Известно, что давление газа внутри пузырька больше давления в окружающей жидкости на величину\[\Delta P=\frac{2\gamma}r,\]где $r$ – радиус пузыря, а $\gamma$ – коэффициент поверхностного натяжения, который будем считать не зависящим от температуры. В следующих пунктах ответы выражайте через атмосферное давление $P_\mathrm{a}$ на поверзности воды, плотность воды $\rho_\mathrm{w}$, молярную массу газа $\mu$, ускорение свободного падения $g$ и постоянную Больцмана $k_\mathrm{B}$.

A1  ^0.50 Найдите давление $P_0$ внутри пузырька радиусом $r_0$ и плотность $\rho_0$ газа в нём при температуре $T_0$ на глубине $d_0$, если количество газа в пузыре остаётся постоянным.

Пусть пузырь радиусом $r_0$ переместился из области с температурой $T_0$ на глубине $d_0$ в область с температурой $T$ на глубине $d$, и его радиус стал равен $r$.

A2  ^0.40 Найдите, как связаны между собой $r$ и $r_0$.

A3  ^0.30 Найдите радиус $r$ пузырьков на глубине $d$ в пренебрежении поверхностным натяжением.

Рассмотрим слияние двух пузырей радиусом $r_0$ в один пузырь радиуса $r$ на глубине $d_0$. Предполагая, что количество газа и его температура $T_0$ при этом остаются постоянными, соотношение между $r$ и $r_0$ можно записать в виде:\[\left(1+\frac\beta r\right)r^b=a\left(1+\frac\beta{r_0}\right)r_0^b.\]

A4  ^1.00 Найдите $a$, $b$ и $\beta$.

Рассмотрим, как ведёт себя $r$ при условии малого $\beta$. Обозначим результирующий радиус пузыря при $\beta=0$ за $r_1$.

A5  ^0.30 Выразите $r_1$ через $r_0$, $a$ и $b$.

При $\beta\neq0$ реальное значение $r$ отличается от $r_1$. Если $\frac{|\beta|}{r_1}\ll1$, то это отличие будет мало, и в первом приближении $r\approx r_1\left(1+C\frac\beta{r_1}\right)$.

A6  ^0.50 Выразите $C$ через $a$ и $b$. При $|x|\ll1$ можете считать, что $(1+x)^q\approx1+qx$.

Часть B. Пена шампанского (7 баллов)

Пузыри привлекают к себе внимание и в других частях света. Когда француз Жерар Лигер-Белэр был аспиратном, он заинтересовался процессом всплывания пузырьков. Поскольку исследований этого процесса до него практически не проводилось, Лигер-Белэр сделал это темой своей диссертации. После этого он написал письмо в компанию "Moet\&Chandon", занимающуюся производством элитного шампанского, и был принят в неё как исследователь пены игристого вина. Ради этого дела исследователь переехал в Реймский университет, где изучал размеры и скорость подъёма пузырьков, а также причины их образования и разрушения.

Пузыри в шампанском возникают из-за того, что в нём при высоком давлении и с большой концентрацией растворён углекислый газ $\mathrm{CO_2}$. Когда шампанское открывают, давление в нём падает до атмосферного, из-за чего $\mathrm{CO_2}$ начинает выделяться на поверхности жидкости. Самостоятельно этот процесс в толще жидкости происходить не может, но если в ней возникнет возмущение или на внутренних стенках сосуда будут царапины или трещины, это приведёт к появлению маленьких пузырей.

В части $\bf A$ мы считали количество газа в пузырях постоянным, но в случае шампанского $\mathrm{CO_2}$ также испаряется с поверхности жидкости внутрь пузырей, поэтому количество вещества в них увеличивается. К тому же, при движении сферического пузыря радиусом $r$ со скоростью $v$ в жидкости с вязкостью $\eta$ на него действует сила трения $4\pi\eta rv$. При решении этой части задачи будем считать, что весь газ в пузырях представляет собой $\mathrm{CO_2}$, давление в жидкости всюду одинаково и равно атмосферному, а температура шампанского постоянна и равна $T$. Ответы в следующих пунктах выражайте через молярную массу углекислого газа $M=44.0~\frac{\text{г}}{\text{моль}}$, плотность шампанского $\rho_L=0.983~\frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, атмосферное давление $P_\mathrm{a}=1.013\cdot10^5~\text{Па}$, ускорение своободного падения $g=9.80~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, постоянную Авогадро $N_\mathrm{A}=6.02\cdot10^{23}~\text{моль}^{-1}$ и постоянную Больцмана $k_\mathrm{B}=1.38\cdot10^{-23}~\frac{\text{Дж}}{\text{К}}$.

Если внутреннее давление в пузырьках выше, чем в бутылке перед открытием, то $\mathrm{CO_2}$ не сможет испаряться внутрь таких пузырьков, поэтому они быстро схлопываются после открытия. В силу поверхностного натяжения давление газа в пузырьках будет возрастать с уменьшением их размера, поэтому давление шампанского перед открытием бутылки определяет их минимальный радиус.

B1  ^0.50 Оцените коэффициент поверхностного натяжения шампанского $\gamma$, если изначальное давление в бутылке составляло $5.0~\text{атм}$, а радиус наименьших пузырьков, возникших в результате её открытия, равен $0.30~\text{мкм}$. Найдите количество $N$ молекул $\mathrm{CO_2}$ в таких пузырьках. Температура шампанского равна $280~\text{К}=7~{}^{\circ}C$.

B2  ^0.50 Пусть скорость испарения молекул $\mathrm{CO_2}$ с единицы поверхности равна $\alpha$. Найдите, с какой скоростью $\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt}$ увеличивается число молекул газа в пузыре радиусом $r$.

B3  ^0.50 Найдите равнодействующую $F$ силы тяжести, силы Архимеда и силы трения, действующих на пузырёк радиуса $r$, поднимающийся в шампанском со скоростью $v$. Положительной считайте силу, направленную вверх.

В следующих пунктах $F$ можно не раскрывать, если не указано иное.

B4  ^1.00 Пусть в момент времени $t$ масса и скорость пузырька равны $m$ и $v$, а в момент времени $t+\Delta t$ – $m'$ и $v'$ соответственно. Считая силу $F$ в промежутке времени $\Delta t$ постоянной, запишите соотношение между данными величинами, считая, что перед попаданием в пузырёк молекулы $\mathrm{CO_2}$ неподвижны.

B5  ^0.50 Положим $\Delta v=v'-v$, $\Delta m=m'-m$. Перейдя к пределу $\Delta t\to0$, получите уравнение движения пузыря, связывающее между собой $m$, $\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$, $v$, $\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$ и $F$.

Когда глубина шампанского составляет меньше $10~\text{см}$, а радиус пузырька превосходит $100~\text{мкм}$, относительным вкладом давления воды и поверхностного натяжения на давление газа в пузырьке можно пренебречь и считать, что оно всегда равно атмосферному.

B6  ^0.50 В принятом выше приближении скорость испарения молекул $\mathrm{CO_2}$ $\alpha$ постоянна. Пусть при $t=0$ радиус пузырька равен $r_0$. Найдите зависимость радиуса пузырька от времени $r(t)$ в дальнейшем.

B7  ^0.50 Поскольку масса газа в пузырьке много меньше массы окружающей жидкости, можно считать, что сила трения и сила Архимеда, действующие на него, в любой момент времени уравновешивают друг друга. Найдите отсюда скорость подъёма $v$ пузырьков радиусом $r$.

Если налить шампанское в очень чистый бокал, оно почти не будет пениться. Непрерывный поток в некотором месте зачастую возникает из-за небольшого волокна, отпавшего от бумаги или ткани и прилипшего к внутренней части стекла. В этом случае начальный диаметр пузырьков соответствует размеру этого волокна. Частота образования пузырьков при этом постоянна в каждой точке образования.

B8  ^3.00 На рисунке ниже показана фотография поднимающихся пузырей, которые возникают каждые $70~\text{мс}$. Оцените по фотографии коэффициенты $\alpha$ и $\eta$.