Pho.rs: Физика пузырей

A1 ^0.50 Найдите давление $P_0$ внутри пузырька радиусом $r_0$ и плотность $\rho_0$ газа в нём при температуре $T_0$ на глубине $d_0$, если количество газа в пузыре остаётся постоянным.

1 Ответ: $P_0 = P_a + \rho_w g d_0 + \cfrac{2\gamma}{r_0}$	0.20
2 Ответ: $\rho_0 = \cfrac{P_0 \mu}{RT_0} = \cfrac{\left(P_a + \rho_w g d_0 + \cfrac{2\gamma}{r_0} \right)\mu}{RT_0}$	0.30

A2 ^0.40 Найдите, как связаны между собой $r$ и $r_0$.

1 Идея сохранения массы	0.10
2 Ответ: $r=r_0 \cdot \sqrt[3]{\cfrac{P_a + \rho_w g d_0 + \cfrac{2\gamma}{r_0}}{P_a + \rho_w g d + \cfrac{2\gamma}{r}} \cdot \cfrac{T}{T_0}}$	0.30

A3 ^0.30 Найдите радиус $r$ пузырьков на глубине $d$ в пренебрежении поверхностным натяжением.

1 Ответ: $r=r_0 \cdot \sqrt[3]{\cfrac{P_a + \rho_w g d_0}{P_a + \rho_w g d} \cdot \cfrac{T}{T_0}}$

0.30

A4 ^1.00 Найдите $a$, $b$ и $\beta$.

1 Идея сохранения массы	0.20
2 Ответ: $a=2$	0.20
3 Ответ: $b=3$	0.20
4 Ответ: $\beta = \cfrac{2\gamma}{P_a + \rho_w g d_0}$	0.40

A5 ^0.30 Выразите $r_1$ через $r_0$, $a$ и $b$.

1 Ответ: $r_1=r_0 \cdot a^{1/b}$

0.30

A6 ^0.50 Выразите $C$ через $a$ и $b$. При $|x|\ll1$ можете считать, что $(1+x)^q\approx1+qx$.

1 Промежуточный результат после применения приближения, например: $\left( 1+\cfrac{\beta}{br} \right) \cdot r = r_0 \cdot a^{1/b} \cdot \left( 1 + \cfrac{\beta}{b r_0} \right)$. Засчитывается также если подставлены конкретные значения $a$, $b$, $\beta$. Засчитывается автоматом, если засчитан ответ.	0.20
2 Ответ: $C=\cfrac{a^{1/b}-1}{b}$	0.30

B1 ^0.50 Оцените коэффициент поверхностного натяжения шампанского $\gamma$, если изначальное давление в бутылке составляло $5.0~\text{атм}$, а радиус наименьших пузырьков, возникших в результате её открытия, равен $0.30~\text{мкм}$. Найдите количество $N$ молекул $\mathrm{CO_2}$ в таких пузырьках. Температура шампанского равна $280~\text{К}=7~{}^{\circ}C$.

1 $\gamma = \cfrac{(P_\text{бут} - P_a) \cdot r_{min}}{2}$	0.10
2 Ответ: $\gamma = 6.078 \cdot 10^{-2}~\cfrac{\text{Н}}{\text{м}}$	0.15
3 $N = \cfrac{P_\text{бут} \cdot \cfrac{4}{3} \pi r_{min}^3 \cdot N_A}{RT}$	0.10
4 Ответ: $N=1.48 \cdot 10^7~\text{шт.}$	0.15

B2 ^0.50 Пусть скорость испарения молекул $\mathrm{CO_2}$ с единицы поверхности равна $\alpha$. Найдите, с какой скоростью $\frac{\mathrm dN}{\mathrm dt}$ увеличивается число молекул газа в пузыре радиусом $r$.

1 $\cfrac{dN}{dt}=\alpha \cdot 4\pi r^2$

0.50

B3 ^0.50 Найдите равнодействующую $F$ силы тяжести, силы Архимеда и силы трения, действующих на пузырёк радиуса $r$, поднимающийся в шампанском со скоростью $v$. Положительной считайте силу, направленную вверх.

1 $F=-mg + \rho_L \cdot g \cdot \cfrac{4}{3}\pi r^3 - 4\pi\eta rv$

0.50

B4 ^1.00 Пусть в момент времени $t$ масса и скорость пузырька равны $m$ и $v$, а в момент времени $t+\Delta t$ – $m'$ и $v'$ соответственно. Считая силу $F$ в промежутке времени $\Delta t$ постоянной, запишите соотношение между данными величинами, считая, что перед попаданием в пузырёк молекулы $\mathrm{CO_2}$ неподвижны.

1 $F \Delta t = m' v' - mv$

1.00

B5 ^0.50 Положим $\Delta v=v'-v$, $\Delta m=m'-m$. Перейдя к пределу $\Delta t\to0$, получите уравнение движения пузыря, связывающее между собой $m$, $\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$, $v$, $\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$ и $F$.

1 $F=\cfrac{dm}{dt} v + m \cfrac{dv}{dt}$

0.50

B6 ^0.50 В принятом выше приближении скорость испарения молекул $\mathrm{CO_2}$ $\alpha$ постоянна. Пусть при $t=0$ радиус пузырька равен $r_0$. Найдите зависимость радиуса пузырька от времени $r(t)$ в дальнейшем.

1 Связь $N$ и $r$, например: $P_a \cdot \cfrac{4}{3} \pi r^3 = \cfrac{N}{N_A}RT$	0.10
2 Ответ: $r(t) = r_0 + \cfrac{\alpha RT}{P_a N_A} t$	0.40

B7 ^0.50 Поскольку масса газа в пузырьке много меньше массы окружающей жидкости, можно считать, что сила трения и сила Архимеда, действующие на него, в любой момент времени уравновешивают друг друга. Найдите отсюда скорость подъёма $v$ пузырьков радиусом $r$.

1 Из равенства сил трения и Архимеда: $v=\cfrac{\rho_L \cdot g}{3 \eta} \cdot r^2$

0.50

B8 ^3.00 На рисунке ниже показана фотография поднимающихся пузырей, которые возникают каждые $70~\text{мс}$. Оцените по фотографии коэффициенты $\alpha$ и $\eta$.

1 Идея расчета коэффициента $\alpha$: например, по угловому коэффициенту зависимости $r(t) = r_0 + \cfrac{\alpha RT}{P_a N_A} t$	0.20
2 M1 Измерены больше 2 пузырей и проведено усреднение любым способом, либо измерены несоседние 2 пузыря	0.50
3 M2 Для расчета измерено только 2 соседних пузыря	0.20
4 Ответ: $\alpha \in [4.0; 8.0]\cdot 10^{21}~\cfrac{\text{шт.}}{\text{с} \cdot \text{м}^2}$	0.70
5 Идея расчета коэффициента $\eta$: например, по угловому коэффициенту зависимости $v(r^2)=\cfrac{\rho_L \cdot g}{3 \eta} \cdot r^2$	0.20
6 M1 Измерены несколько пар величин $v$ и $r$ и проведено усреднение любым способом, например построением линеаризованного графика $v(r^2)$ или просто арифметическим усреднением величины $\cfrac{v}{r^2}$	0.70
7 M2 Для расчета измерены $v$ и $r$ только в один момент времени	0.30
8 Ответ: $\eta \in [1.0; 2.0]\cdot 10^{-2}~\text{Па} \cdot \text{с}$	0.70

Физика пузырей

Разбалловка