A1
4.20
Найдите минимальную горизонтальную скорость (при всех возможных отношениях масс куба и шайбы), которую необходимо сообщить шайбе, чтобы в процессе движения куб оторвался от поверхности стола. Трение в системе полностью отсутствует. При каком отношении масс куба и шайбы $M/m$ достигается минимальное значение скорости шайбы?
Можно показать, что отрыв куба начинается в тот момент, когда шайба занимает положение, указанное на рисунке справа. Пусть в этот момент скорость центра куба массы $M$ равна $u$, а $w$ – есть скорость шайбы массы $m$ относительно куба, направленная горизонтально. Так как в системе отсутствует трение, то сохраняется проекция полного импульса системы на горизонтальное направление
$$mv=Mu+m(u-w), \tag{1}$$а также выполняется закон сохранения энергии
$$\frac{mv^2}{2}=\frac{Mu^2}{2}+\frac{m}{2}(u-w)^2+2mgR. \tag{2}$$
В мгновенной системе отсчета, связанной с кубом, шайба движется со скоростью $w$ по окружности радиуса $R$ и уравнение ее движения в проекции на радиальное направление имеет вид
$$N+mg=\frac{mw^2}{R}. \tag{3}$$Очевидно, что условие отрыва куба от плоскости стола в соответствие с третьим законом Ньютона имеет вид
$$N=Mg. \tag{4}$$Решая совместно систему уравнений $(1)-(4)$, находим скорость шайбы
$$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. \tag{5}$$Из выражения $(5)$ путем дифференцирования по $M/m$ следует, что минимальная горизонтальная скорость достигается при
$$M/m=2$$и равна
$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. \tag{7}$$
Ответ:
$$v=\sqrt{gR}\sqrt{5+\frac{M}{m}+4\frac{m}{M}}. $$Минимальная горизонтальная скорость достигается при $M/m=2$ и равна
$$v_{\min}=3\sqrt{gR}. $$
