К первым успехам теории магнитных явлений Ампера относится вычисление индукции $\vec B$ магнитного поля, создаваемого проводником с электрическим током, и сравнение с проведенными ранее расчетами Био и Савара.

Интересным частным случаем является очень длинная проволока с постоянным током $i$, изогнутая в виде буквы V с углом раствора $2\alpha$ (рис. 1). Согласно вычислениям Ампера, модуль магнитной индукции $\vec B$ в точке P на оси V-образной проволоки на расстоянии $d$ от вершины пропорционален $\operatorname{tg}\frac\alpha2$. Работа Ампера позже вошла в теорию электродинамики Максвелла и является общепризнанной.

1  ^1.00 Найдите направление магнитной индукции $\vec B$ в точке P.

2  ^1.50 Зная, что модуль магнитной индукции пропорционален $\operatorname{tg}\cfrac\alpha2$, т.е. $B({\rm P}) = k\operatorname{tg}\cfrac\alpha2$‚ вычислите коэффициент пропорциональности $k$.

3  ^2.00 Определите модуль магнитной индукции $\vec B$ в точке P, симметричной точке P относительно вершины, т.е. на оси проволоки, и на том же расстоянии $d$ от вершины, но внутри контура (рис. 2).

4  ^2.50 Вычислите как функцию $B$ период малых колебаний помещенной в точку P магнитной стрелки, если стрелка имеет момент инерции $I$ магнитный дипольный момент $\vec p$. Стрелка колеблется в той же плоскости, в которой лежит вектор индукции $\vec B$.

При тех же условиях, что и у Ампера, Био и Савар предполагали, что модуль магнитной индукции $B$ в точке P определяется выражением (используем современную запись) $B(P)=\cfrac{i\mu_0\alpha}{\pi^2d}$, где $\mu_0$ — магнитная постоянная. Они попытались с помощью эксперимента проверить справедливость соответствующих предположений (Ампера и своих), измеряя период колебаний магнитной стрелки как функцию угла $\alpha$. Однако для некоторых значений а разница результатов столь мала, что ее трудно измерить.

5  ^3.00 Установите приближенно, какой интервал углов $\alpha$ следует выбрать, чтобы обнаружить различие между двумя предсказаниями для периода $T$ колебаний магнитной стрелки в точке P, которое в их значениях составляло не менее 10\%, а именно $Т_1 > 1.10T_2$, (где $T_1$ соответствует предположению Ампера, а $T_2$ — предположению Био и Савара).

Примечание: В зависимости от выбранного способа решения задачи может быть полезной формула:\[\operatorname{tg}\frac\alpha2=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.\]