1  ^1.00 Найдите направление магнитной индукции $\vec B$ в точке P.

1 Понимание, что вклады двух "плечей" одинаковы	0.60
2 Верный рисунок: $\overrightarrow{B(P)}$ направлено "из листа на нас"	0.40

2  ^1.50 Зная, что модуль магнитной индукции пропорционален $\operatorname{tg}\cfrac\alpha2$, т.е. $B({\rm P}) = k\operatorname{tg}\cfrac\alpha2$‚ вычислите коэффициент пропорциональности $k$.

1 M1 Идея рассмотреть $\alpha=\pi/2$, когда V-образный провод превращается в прямую	0.80
2 M1 Выражение для поля бесконечного прямого провода: $B(d) = \cfrac{\mu_0 i}{2 \pi d}$	0.40
3 M2 Выведена или записана формула для поля отрезка: $B = \cfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \cfrac{\cos \theta_1 - \cos \theta_2}{h}$, где $h$ - расстояние от точки до прямой	0.80
4 M2 Поле от каждого "плеча" равно $B = \cfrac{\mu_0 i}{4 \pi} \cfrac{1-\cos \alpha}{d \cdot \sin \alpha}$	0.40
5 Ответ: $k = \cfrac{\mu_0 i}{2 \pi d}$	0.30

3  ^2.00 Определите модуль магнитной индукции $\vec B$ в точке P, симметричной точке P относительно вершины, т.е. на оси проволоки, и на том же расстоянии $d$ от вершины, но внутри контура (рис. 2).

1 Идея: либо представить как 2 прямых провода + противоположная буква V, либо считать что эта точка снаружи от конуса с углом $\alpha \rightarrow (\pi - \alpha)$, либо считать заново как сумму полей отрезков	0.80
2 Ответ: $B(P_1) = \cfrac{\mu_0 i}{2 \pi d} \cdot \mathrm{ctg} \cfrac{\alpha}{2}$	0.70
3 Верный рисунок: $\overrightarrow{B(P_1)}$ направлено "от нас в лист"	0.50

4  ^2.50 Вычислите как функцию $B$ период малых колебаний помещенной в точку P магнитной стрелки, если стрелка имеет момент инерции $I$ магнитный дипольный момент $\vec p$. Стрелка колеблется в той же плоскости, в которой лежит вектор индукции $\vec B$.

1 Выведено или записано $\vec{M} = \left[\vec{p} \times \vec{B}\right]$ или $M=pB \sin \alpha$ или $W = - \left(\vec{p}\cdot \vec B\right) = - pB \cos \alpha$	1.30
2 Получено уравнение колебаний: $I \ddot {\alpha} = - pB \sin \alpha$	0.70
3 Ответ: $T(B) = 2 \pi \sqrt{\cfrac{I}{p B}}$	0.50

5  ^3.00 Установите приближенно, какой интервал углов $\alpha$ следует выбрать, чтобы обнаружить различие между двумя предсказаниями для периода $T$ колебаний магнитной стрелки в точке P, которое в их значениях составляло не менее 10\%, а именно $Т_1 > 1.10T_2$, (где $T_1$ соответствует предположению Ампера, а $T_2$ — предположению Био и Савара).

1 Приведение соотношения периодов к любому выражению через $\alpha$: $\left(\cfrac{T_1}{T_2}\right)^2 = \cfrac{B_\text{БС}}{B_\text{А}} = \cfrac{2 \alpha}{\pi \cdot \mathrm{tg} \cfrac{\alpha}{2}} = \cfrac{2 \alpha \cdot (1+\cos \alpha)}{\pi \cdot \sin \alpha} = f(\alpha) > 1.21$	0.40
2 Анализ поведения $f(\alpha)$: монотонность, крайние точки	1.00
3 Нахождение критического угла, при котором $f(\alpha_{crit}) = 1.21$: $\alpha_{crit} \in [40; 45]^\circ = [0.70; 0.79]~\text{рад}$ (Например, через подбор угла, или через численное решение уравнения на калькуляторе, или через предположение о малости $\alpha_{crit}$ и разложение в ряд)	1.20
4 Засчитан предыдущий пункт и верно выбран диапазон: $\alpha \in (0; \alpha_{crit})$	0.40