Принятые обозначения: Длина вектора $\vec A$ обозначается $A\equiv|\vec A|$. $x$-, $y$- и $z$-компоненты вектора обозначаются как $A_x$, $A_y$ и $A_z$ соответственно.
Производная величины по времени обозначается точкой: $\dot{\vec A}\equiv \mathrm{d}\vec A/\mathrm{d}t$, $\dot A\equiv \mathrm{d}A/\mathrm{d}t$. Единичный вектор в направлении $\vec A$ обозначается $\hat A$. Единичные векторы вдоль осей декартовой системы координат, таким образом, — $\hat x$, $\hat y$ и $\hat z$.
Определения скалярного и векторного произведений:
Тройные произведения векторов:
Векторные произведения очень полезны при описании многих соотношений в физике.
Например:
и зачастую экономят время, позволяя записать три уравнения для компонент векторов в одном.
Шарик массой $m$ и радиусом $r$ катится без проскальзывания по горизонтальному вращающемуся диску (см. рис. 1). Его масса распределена сферически симметрично, т.е. плотность зависит только от расстояния до центра. Момент инерции шарика $I$. В части B,
в которой диск вращается свободно, момент инерции диска равен $I_d$.
Цель задачи — исследовать движение и траекторию шарика в лабораторной системе отсчёта. При решении задачи считайте диск достаточно большим, и что шарик с него не скатывается. Используются следующие обозначения:
Начальные положение $\vec R_0\equiv\vec R(0)$ и скорость $\vec v_0\equiv\vec v(0)$ шарика, а также угловая скорость диска $\Omega_0\equiv\Omega(0)$ известны.
В векторных выражениях можно использовать орт $\hat z$. Если нужно выразить ответ через известные величины, можно использовать $m$, $r$, $I$ и $I_d$. Подставляйте $I$ в общем виде, если не указано иное.
Также рекомендуется использовать следующие обозначения: \[\alpha=\frac I{I+mr^2},\quad\delta=\frac{I_d}{mr^2}.\] Ответы, представляющие собой векторные величины, можно выражать через векторное и скалярное произведения, а также единичные векторы в направлении осей системы координат.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда угловая скорость диска вертикальна и постоянна, т.е. $\Omega=\Omega_0$.
A5
0.50
Пусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$.
Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом.
В этой части задачи диск может вращаться вокруг оси $z$ без трения. Следовательно, на вращение диска влияет только трение о шарик.
B5
2.50
Запишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\hat zL$.
Скорость шарика $\vec v$, полученную в пункте B1,
можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\vec c$.
Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\hat z\times\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\Omega$ через $L$, $\vec R$, $\vec c$, $\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$.
Добавив к этому результат пункта B3,
запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\vec c$.
Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую.
Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины.
В этой части задачи рассмотрим шарик, у которого $I=mr^2/10$. Этого можно добиться, если заполнить шарик однородным веществом до половины его радиуса, а оставшуюся часть — пренебрежимо легким веществом.
Более того, будем считать, что поверхность шарика заряжена однородно с плотностью заряда $Q/(4\pi r^2)$, где $Q$ — суммарный заряд шарика. Вся система находится в однородном магнитном поле $\vec B$, направленном по оси $\hat z$.
Диск вращается с постоянной угловой скоростью $\Omega$ так же, как в части
A.
C2
0.50
Уравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\vec R$ вида: \[\frac{\mathrm{d}^2\vec R}{\mathrm{d}t^2}-\gamma \frac{\mathrm{d}\vec R}{\mathrm{d}t}\times \hat z+\beta \vec R = 0.\] Выразите постоянные $\gamma$ и $\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\Omega$.
C3
1.00
Перейдите от компонент $\vec R$ к полярным координатам: \[\begin{cases} x(t)=\rho(t)\cos(\eta(t)),\\y(t)=\rho(t)\sin(\eta(t)),\end{cases}\] и получите систему уравнений на $\rho(t)$ и $\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше.
Далее считайте, что полярный угол $\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\eta(0)=\eta_0$.
Выразите коэффициент $\beta'$ при $\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\rho(t)$ через $\gamma$ и $\beta$.
Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д.
C4
0.90
Рассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в С3:
Для $\beta'=0$ найдите $\beta$ и $\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\Omega$.
Схематично изобразите траекторию шарика.
Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда.
C5
1.60
Рассмотрим решение, полученное в пункте C4.
Если решение получено правильно, вектор $\vec R$ должен вращаться.
Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~кг$, а его радиус $r=1~м$, поэтому $I=1/10~кг\cdot м^2$.